Дискретно-непрерывная математика (стр. 69 )

Случай 2. Если М есть объединение Н классов полугруппы Н, то изоморфизм j : J (М)0→М0 (G; А, B; C) может быть выбран так, что

j [М J (М)] есть дополнение «прямоугольника» Н классов полугруппы М0 (G; А, B; C). j[М J(М)] представляется только одним из следующих трех выражений:

1) G × (А — А') × В, А' — собственное непустое подмножество множества А;

2) G × А × (В — В'), В' — собственное непустое подмножество множества В;

3) (G × А × В)— (G × А' × В'), А', В' - собственные непустые подмножества множества А и В соответственно.

В случае 2 [М J(М)]0 есть максимальная подполугруппа полугруппы J (М)0 тогда и только тогда, когда j [М J (М)] представляется выражением 3.

Доказательство. Начнем из пункта а). Пусть J минимальный среди F - классов полугруппы S, не содержащихся в М [в обычной упорядоченности J1 ≤ J 2 тогда и только тогда, когда S1J1S1 S1 J2S1].

Тогда М J есть подполугруппа в S, содержащая М как собственное подмножество, так что М J=S. Следовательно, S — М J ≡ J (М).

Рассмотрим пункт б). Пусть J=J(M). Определим М' как объединение всех Н классов, которые пересекают М. Покажем, что М' будет подполугруппой S, содержащей М, и тогда в силу максимальности М или М' = М, или М' = S. Из первого соотношения следует, что М есть объединение Н классов, второе показывает, что М пересекает каждый Н класс полугруппы S.

Докажем, что М' — подполугруппа. Пусть h1,h2 М'. Если

h1h2 М M', то все сделано, поэтому предположим противное. Тогда h1h2 J и по крайней мере один из элементов h1 или h2 принадлежит J. По определению множества М' существуют элементы т1, т2 M, такие, что hiНmі, i = 1, 2. Возможны два случая.

Предположим h1М, h2J. Так как (по предположению)

h1h2 J', умножение слева на элемент h1 переводит Н класс, который содержит элемент h2, на Н класс, который содержит элемент h1h2. Следовательно, из отношения h2Нт2 вытекает, что h1h2Нh1m2М, поэтому h1h2 М'. (Ситуация, при которой h1 J, h2 М доказывается с помощью дуальных рассуждений.)

Предположим, что f1, h2 J. Тогда при помощи теоремы Риса получаем, что из hiНmі, i = 1, 2, вытекает h1h2Нm1m2 М, поэтому h1h2 М'.

Теперь все возможные случаи исследованы и можно сделать вывод, что множество М' есть полугруппа. Пункт б) доказан.

Перейдем к пункту в). Пусть J = J (M), J — нулевой класс и

п1, п2 J. Тогда п1 = s1п2s2 для некоторых элементов s1, s2 S1 (по определению отношения F) и s1, s2 J, так как по определению нулевого класса, произведение двух или более элементов из J принадлежит S1JS1 — J. Итак, s1, s2 M1, поскольку из n2M вытекает, что n1 M. Следовательно, J М = .

В случае 1 (см. пункт г)) предположим, что М пересекает каждый Н класс полугруппы S. Пусть j' обозначает изоморфизм полугруппы J0 на полугруппу Т = М0 (G; А, B; C). Тогда T1 = j' (М J) есть подполугруппой в Т, пересекающа каждый Н класс

Н (а, b) = (G, а, b) ={(g, a, b):g G}.

Пусть

Предположим теперь, что H(а0, b0) — фиксированный не равный нулю H класс в Т, для которого g0=С(b0, а0)≠0, т. е. H(а0, b0) есть подполугруппа в Т, которая изоморфна G. Изоморфизм устанавливается отображением (g, а0, b0)→g0g. Тогда X (а0, b0) = {g0-1g : g G1} = g0-1G1 для некоторой подгруппы G1 группы G, так как М (а0, b0) есть подгруппа из Т, содержащаяся в Н (а0, b0). Пусть для каждого а A, ga— фиксированный элемент из X (а, b0), а для каждого b В, уь— фиксированный элемент из X (а0, b). Тогда

Но согласно аналогичным рассуждениям существуют элементы t1, t2 T1, такие, что

поэтому

Для каждого b В пусть hb = goyb. Тогда X (a, b) = gaG1hb. Пусть матрица С : В × А → G0 задается соотношением

Тогда полугруппа М0(G; А, В; С′) изоморфна полугруппе М0(G;А,В; С). Изоморфизм определяется как отображение

j1 : М0 (G; А, В; С→М0 (G; А, В; С),

для которого

Следовательно, j1 (Т1— {0}) = G1 × А × В принадлежит полугруппе М0 (G; А, В; С), поэтому, полагая j= j1j', получим j (М J)=G1 × А × В.

Наконец, покажем, что G1 — максимальная подгруппа G, так что

(М J)0 будет максимальной подполугруппой в J0. Пусть G′1 — такая подгруппа группы G, что G1 G′1 G. Предположим, что Т =j -1(G′1 ×А×В). Определим М' = М Т . Мы докажем, что М' есть подполугруппой и тогда в силу максимальности М требуемое утверждение будет получено.

Так как С (b, а) G01, М0 (G′1; А, В; С) — полугруппа, поэтому

Т {0} = j -1[(G′1 ×А×В) {0}] — подполугруппа полугруппы J0.

Поскольку Т0 есть подполугруппа в J0, мы должны показать только, что для элементов m М и х Т имеет место тх М ' и хт М'. Если

тх, хт М М', то требемое получено, поэтому предположим, что

тх, хт Ј. Так как Ј — регулярный класс, существуют идемпотенты е1 е2 J, такие, что е1х = х, хе2 = х. К тому же e1, e2 М, так как М пересекает каждый Н класс полугруппы S, поэтому те1, е2т М. Кроме того, те1, е2т Ј, так как тх=(me1)х J и хт =х (e2m) J. Следовательно, me1,e2mJ MТ, откуда вытекает, что (тe1)х=тх М' и х(е2т)=хтМ'. Следовательно, М'' есть подполугруппа полугруппы S и утверждение доказано.