Дискретно-непрерывная математика (стр. 104 )

5. Теорема Если S есть L полугруппа с границей В, то В будет компактной группой Ли; В действует на S с помощью левых переносов; пространство орбит S' является I полугруппой и в S существует I полугруппа J, которая будет также cечением для S', следовательно, S = JB. Если S содержит нуль, то полугруппа S изеоморфна (J ×В)/К, где К — идеал J ×В. Умножение в S дифференцируемо тогда и только тогда, когда S' — единичная нить. Например, нетрудно показать, что единичный комплексный круг имеет вид (I × С)/К, где I — стандартная единичная нить, С — группа вращений окружности и К = (0 × С) (см. рис. 3.6).

Эта теорема частично отвечает на вопросы о топологических полугруппах, поставленные Уоллесом.

Задачи. Предположим, что S — полугруппа на компактной поверхности, граница В которой есть подполугруппой. Насколько умножение в S определяется умножением в В? Когда это умножение дифференцируемо?

Относительно строения таких полугрупп, если они не имеют единицы, известно очень мало. К известным фактам следует отнести результат Хадсона, показавшего, что в случае, когда S есть замкнутая п клетка и ограничивающая сфера В есть левотривиальная подполугруппа в S (хВ= х для любого х В), то или S левотривиальная, или (S\K (S))* = ВТ для некоторой I полугруппы Т, содержащейся в S.

Ранее мы указали, почему хорошо сжимать замкнутый идеал в точку, или, что то же самое, почему фактор-пространство Риса оказывается полугруппой. Формально фактор-полугруппа Риса компактной полугруппы представляет собой специальный случай общего приема выделений замкнутой конгруэнтности, которая приводит к полугруппе в соответствии со следующей теоремой. Большое значение при этом имеет связь между конгруэнтностями и гомоморфизмами, поэтому мы формулируем предложение в полной общности. Отметим, что оно остается справедливым, если прилагательные «компактный» и «компактный хаусдорфовый» заменить на прилагательное «дискретный».

6. Теорема. Предположим, что S — компактная (дискретная) полугруппа и — замкнутое отношение эквивалентности на S. Пусть ф : S→ — каноническое отображение. Тогда множество будет компактным и хаусдорфовым (дискретным) в фактор-топологии, множество U в которой открыто по определению тогда и только тогда, когда открыто множество ф -1 (U).

Если есть еще и конгруэнтностью, то множество обладает естественным строением полугруппы, причем отображение ф будет гомоморфизмом. Следовательно, замкнутое отношение конгруэнтности на S индуцирует гомоморфизм полугруппы S на другую полугруппу. Наоборот, если f : S → Т есть гомоморфизм из S на Т, то отношение

= f {(s,s') ЂS×S|f(s) = f (s')}

будет замкнутой конгруэнтностью нa S и полугруппа изеоморфна Т, изеоморфизм : → Т определяется равенством ф = f:

Следующая конструкция, как и фактор-полугруппа Риса, получается в результате применения теоремы 6, но другим способом. Фактор - полугруппа Риса заменяет идеалы на точки, тогда как метод склеивания Борсука описывает условия, при которых подполугруппа может быть заменена другой полугруппой. Эта простая вариация хорошо известного метода склеивания с помощью непрерывной функции, предложенного К. Борсуком.

7. Теорема. Склеивание Борсука. Пусть S — компактная полугруппа и А — замкнутая подполугруппа в S. Предположим, что f:А→Т — сюръективный гомоморфизм. Обозначим как ∆(S)={(х, х)|x S} диагональ полугруппы S. Положим

E = ∆(S) {( a1, a2) A × А | f (a1) = f (а2)}.

Тогда E есть замкнутое отношение эквивалентности на S, и если E — конгруэнтность, тo и S/E будет полугруппой и ее можно рассматривать как полугруппу S, у которой вырезана подполугруппа А и разрез заклеен полугруппой Т, причем правила склеивания определяются отображением f. Если А — идеал полугруппы S, то E будет отношением конгруэнтности, когда f (xa1) = f(xa2) и f (a1x) = f(a2x) для каждого x S.

4. Примеры 1) Фактор-полугруппа Риса. Пусть А — замкнутый идеал компактной полугруппы S и Т — одноточечная полугруппа, а f — отображение А в Т.

2) Клан на листе Мебиуса. Пусть С и І такие, как в примере 2. Положим

S = I×C, А=0×С и Т = С.

Определим отображение f : А→Т, полагая f (0, z) = z2. Легко видеть, что в результате склеивания отождествляются только противоположные точки на базисной окружности полугруппы S, а остальная часть S остается без изменения. Для того чтобы представить себе геометрически, что пространство, полученное в результате склеивания, действительно является листом Мебиуса, можно: 1) разрезать вертикально S пополам и спустить переднюю половину вниз; 2) повернуть переднюю половину на 180°; 3) склеить два ссмежных края вместе, это даст нам 2-клетку с отождествленными противоположными точками на базисной окружности полугруппы S, исключая угловые точек; 4) снова соединить края разреза так, как они были первоначально, что завершит отождествление противоположных точек базисной окружности полугруппы S.

Рис. 3.12

Теперь получится пространство склейки, в то же время процесс построения этого пространства есть стандартный способ получения листа Мебиуса из клетки (см. рис. 3.12).

3) Клан на зонтике. Пусть множество D такое же, как в примере

2, А={z D>| |z|≤1/2}, Т= [0, ½] с действительным умножением. Определим f: А→ Т, полагая f (z) = |z| (см. рис. 3.13).

Рис. 3.13

4) Пусть S — единичная спираль примера 2 (1) и {а, b} — полугруппа, которая состоит из двух элементов. [Например, умножение может быть тривиальным слева, или {а, b} может быть циклической группой из двух элементов.] Пусть Т— базисная окружность полугруппы S, a W = {а, b} × S — обычное произведение полугрупп (см. определение 7). Полугруппа W компактна, поскольку таковыми являются полугруппы {а, b} и S. Пусть А={а, b}×T W, определим отображение f: А→ Т просто как проекцию. Тогда условия теоремы 7 выполняются и в результате склеивания получаем двойную спираль (см. рис. 3.14).

Рис. 3.14

Так как для любой конечной (или более обще, компактной) полугруппы X, X×S — компактная полугруппа, можно таким же способом склеить множество спиралей, мощность которого есть мощность множества X. Сравните этот пример с примером 3 (2).

Во всех предыдущих примерах отображение f должно было выбираться каждый раз так, чтобы индуцированное им отношение эквивалентности оказывалось замкнутой конгруэнтностью.

3.14. Некоторые соображения о компактных группах

В этом разделе предметом обсуждения будут элементарные, но в тот же время наиболее часто применяемые факты о компактных полугруппах. Предварительно мы приведем без доказательства несколько простых, однако достаточно важных результатов из топологии, которая нам понадобятся в дальнейшем.

Замечания по общей топологии. Пусть X, Y и Z обозначают хаусдорфовы топологические пространства.

1) Если A, U Х и U - открытое множество, то из А* U ≠□ следует, что А U ≠□.

В пунктах 2 и 3 символ А будет обозначать непустое семейство подмножеств из X, которое является башней, т. е. для каждых А, B А или A В или B А. Условимся что символ А обозначает множество { А | А А }.

2) Если каждый элемент А А семейства А есть компактное, непустое множество, то А также компактно и непусто.

3) Пусть f : X →Y - непрерывное отображение, тогда