Дискретно-непрерывная математика (стр. 27 )

имеет двукратный нуль λ1 = 3 и комплексно-сопряженные нули

λ2 = 1 +і√2 и λ3 = 1 - і√2.

10. Запишите таблицы умножения и сложения классов вычетов по модулю т для т, равного 5 и 6. Определите в обоих случаях симметричные элементы относительно умножения (если они существуют) и объясните различие между этими двумя случаями. Покажите, что множество классов вычетов при т = 5 образует поле Галуа.

Модуль 2

Введение в теорию групп

Микромодуль 4

Основные понятия и действия с группами

2.1. Примеры групп

1. Действия над целыми числами. Сложение целых чисел удовлетворяет следующим условиям, которые называются аксиомами сложения:

I. Всякие два числа можно сложить (т. е. для любых двух чисел а и b существует вполне определенное число, которое называют их суммой: а+ b).

II. Условие совместимости или ассоциативности:

Для любых трех чисел а, b, с имеет место тождество:

(a + b) + c = a + (b + c).

III. Среди чисел существует одно определенное число, нуль, которое удовлетворяет для всякого числа а соотношению

а + 0 = а.

IV. Для каждого числа а существует противоположное ему число, -а, обладающее тем свойством, что сумма а+(-а) равняется нулю:

а + (-а) = 0.

V. Условие переместительности или коммутативности:

a + b = b + a.

2. Действия над рациональными числами. Рассмотрим теперь множество Q, которое состоит из всех положительных и отрицательных рациональных чисел, т. е. из всех рациональных чисел, отличных от нуля. Умножение этих чисел удовлетворяет аксиомам умножения. Перечислем их.

I. Всякие два числа из Q можно перемножить (т. е. для любых двух чисел а и b существует вполне определенное число, которое называют их произведением: а∙b).

II. Условие совместимости или ассоциативности. Для любых трех чисел а, b, с из множества Q имеет место тождество:

(a∙b)∙c= a∙(b∙c).

III. Среди чисел множества Q существует единственное число — единица, которая удовлетворяет для всякого числа а соотношению

а∙1=а.

IV. Для каждого числа а из Q существует обратное ему число а-1, обладающее тем свойством, что произведение а∙а-1 равняется единице:

а∙а-1=1.

V. Условие коммутативности:

a∙ b = b∙ a.

Сравнивая примеры пп. 1 и 2, нетрудно заметить полное сходство аксиом, которым удовлетворяет операция сложения для целых чисел и операция умножения для ненулевых рациональных чисел. Ниже мы увидим, что это сходство не случайное и проявляется при рассмотрении разнообразных конкретных операций.

3. Повороты правильного треугольника. Покажем, что не только числа, но и много других объектов можно перемножать и притом с соблюдением только что перечисленных условий.

Пример 1. Рассмотрим всевозможные повороты правильного треугольника вокруг его центра О (рис. 2.1).

Рис. 2.1

При этом мы будем считать два поворота совпадающими, если они отличаются один от другого на целое число полных оборотов (т. е. на целочисленное кратное 360°). (Так как поворот на целочисленное кратное 360, очевидно, ставит каждую вершину на ее первоначальное место, то естественно объявить такой поворот совпадающим с нулевым и вообще считать совпадающими два поворота, которые отличаются друг от друга на целое число полных оборотов). Легко видеть, что из всех возможных поворотов треугольника лишь три поворота переводят треугольник в себя, а именно: повороты на 120°, на 240° и так называемый нулевой поворот, который оставляет все вершины, а следовательно, и все стороны треугольника на месте. Первый поворот переводит вершину А в вершину В, вершину В в вершину С, вершину С в вершину А (он перемещает, как говорят, вершины А, В, С в циклическом порядку). Второй поворот перемещает А в С, В в А, С в В (т. е. перемещает в циклическом порядке А, С, В).

Введем следующее определение.

Умножить два поворота - значит, последовательно произвести их один за другим.

Таким образом, поворот на 120°, умноженный с самим собой, дает поворот на 240°, умноженный с поворотом на 240° дает поворот на 360°, т. е. нулевой поворот. Два поворота на 240° дают поворот на 480° = 360° + 120°, т. е. их произведение есть поворот на 120°.

Если мы нулевой поворот обозначим через а0, поворот на 120° через a1, поворот на 240° через a2, то получим следующие соотношения:

а0∙ a0 = а0, a0∙ al=al∙ a0 = а1,

а0∙ а2 = а2∙ а0 = а2, а1∙ а1=а2,

а1∙ а2 = а2∙ а1 = а0, а2∙ а2 = а1.

Итак, для каждых двух поворотов определено их произведение. Читатель легко проверит, что это умножение удовлетворяет сочетательному закону; очевидно также, что оно удовлетворяет переместительному закону. Далее, среди этих поворотов имеется также нулевой поворот а0, который удовлетворяет условию

а ∙ а0 = а0 ∙ а = а

для любого поворота а.

Наконец, каждый с трех поворотов имеет обратный ему поворот, который дает в произведении с данным поворотом нулевой поворот: нулевой поворот, очевидно, обратен самому себе, а-1=а0, так как а0∙а0 =а0, тогда как а1-1=а2 и а2-1=а1 (так как а1∙а2=а0). Итак, умножение поворотов правильного треугольника, удовлетворяет всем перечисленным аксиомам умножения. Запишем еще раз правило умножения поворотов более компактным образом в виде следующей пифагоровой таблицы умножения:

Таблица 2.1

Произведение двух элементов в этой таблице находим на пересечении строки, отмеченной первым элементом, и столбца, отмеченного вторым элементом.

Читатель, который будет вычислять с поворотами механически, возьмет просто три буквы: а0, al, а2 и будет множать их, пользуясь только что выписанной таблицей умножения; при этом он может совсем забыть, что именно эти буквы обозначали.

4. Клейновская группа четвертого порядка.

Пример 2. Рассмотрим совокупность четырех букв а0, а1, а2, а3, умножение которых определено следующей таблицей:

Таблица 2.2

или в развернутом виде:

а0∙ a0 = а0, a0∙ al=al∙ a0 = а1,

а0∙ а2 = а2∙ а0 = а2, а0∙ а3= а3∙ а0=а3,

а1∙ a1 = а0, a2∙ a2=a0 ,

а1∙ а2 = а2∙ а1 = а3, а2∙ а3 = а3∙ а2 = а1.

а1∙ а3 = а3∙ а1 = а2, а3∙ а3 = а0.

Умножение определено для любых двух букв из числа четырех. Непосредственная проверка сразу показывает, что это умножение удовлетворяет условию ассоциативности и коммутативности.

Буква а0 обладает основновным свойством единицы: произведение двух сомножителей, из которых одно есть а0, равно другому сомножителю.

Таким образом, условия, аналогичные условиям I, II, III, V из пп. 1-2, оказываются выполненными в «алгебре четырех букв». Для того чтобы убедиться, что условие IV также выполнено, лостаточно заметить, что мы положили

а0∙ а0 = а0, а1∙ а1 = а0, а2∙ а2 =а0, а3∙ а3 = а0,

т. е. каждая буква сама себе обратна (дает при умножении с самой собой единицу).

Наша «алгебра четырех букв» на первый взгляд может показаться своего рода математической игрой, забавой, которая лишена реального содержания. В действительности законы этой алгебры, выраженные таблицей 2, имеют вполне реальный смысл, с которым мы в скором времени познакомимся; заметим, более того, что эта «алгебра четырех букв» имеет важное значение и в высшей алгебре. Она называется клейновской группой четвертого порядка.

5. Повороты квадрата.

Пример 3. Некоторую «алгебру четырех букв», отличную от предыдущей, можно построить в полной аналогии с тем, что мы делали в первом примере. Рассмотрим квадрат ABCD и повороты вокруг его центра, которые переводят фигуру в самое себя. Опять будем считать совпадающими всякие два поворота, отличающиеся друг от друга на целочисленное кратное 360°. Таким образом, будем иметь всего четыре поворота, а именно: нулевой, поворот на 90°, на 180° и на 270°.

Эти повороты обозначим соответственно через а0, а1, а2, а3. Если под умножением двух поворотов понимать опять последовательное осуществление двух поворотов, то получим следующую таблицу умножения, вполне аналогичную второму примеру:

Таблица 2.3

Таким же точно образом как в этом и в первом примере, можно рассматривать повороты правильного пяти-, шести - и вообще п-угольника.

2.2. Основные теоремы о группах

Прежде чем идти дальше в изучении отдельных примеров, подведем итог уже рассмотренным примерам, введя основное определение.

Пусть задано некоторое (конечное или бесконечное) множество G, на котором определена операция умножения, т. е. определен закон, который сопоставляет любой паре а, b элементов из G некий элемент из G называемый произведением а и b и обозначаемый символом а∙ b. Предположим, что эта операция умножения удовлетворяет следующим условиям:

I. Условие ассоциативности. Для любых трех элементов а, b, с множества G справедливо соотношение: