Дискретно-непрерывная математика (стр. 26 )

Отображение Г:а1→b3, a2 → bl, a3 → b2, a4 → b4 является изоморфизмом.

Буквальная проверка условия (1.1) заключается в следующему: в клетках (во внутренней части) таблицы φ заменяем aі на bj в соответствии с Г и получаем левую часть (1.1), т. е. таблицу функции Гφ (aі, аj); во внешней части таблицы ψ заменяем bj на ai и получаем правую часть (1.1); сравнением полученных двух таблиц убеждаемся, что они задают одну и ту же функцию. В действительности достаточно в таблице φ переименовать все ai в bj и сравнить полученную таблицу с ψ .

Заметим, что можно было бы рассматривать алгебры (K, φ) и (K, ψ), где в таблице ψ все bi заменены на ai (с тем же индексом). Тогда отображение Г: а1 → a3, а2 → а1, а3 → а2, а4 → а4 также является изоморфизмом.

5) Рассмотрим булевы алгебры (см. пример 1, п. 3), которые образованы двумя различными множествами U, U' одинаковой мощности. Эти две алгебры изоморфны: операции у них просто одинаковы а отображением Г может служить любое взаимно-однозначна соответствие между U и U'.

3. 1) Множество рациональных чисел, не удержащее нуля, с операцией умножения является абелевою группой. Обратным к элементу а является элемент 1/а.

2) Множество целых чисел с операцией сложения есть абелевой циклической группой. Роль единицы здесь играет 0, обратным к элементу а является элемент — а.

3) Множество невырожденных квадратных матриц порядка п (с отличным от 0 определителем) с операцией умножения является некоммутативной группой.

4) Множество {0, 1, 2, 3, 4} с операцией «сложения по mod 5» — конечная абелева циклическая группа. В этой группе 3-1 = 2, Г-1 = 4.

5) Алгебра {О, } из примера 1, п. 6, где О — множество поворотов квадрата, а — их композиция, является циклической группой: γ =β2, δ=β3 , α=β4. Единицей в ней служит тождественное отображение α (поворот на нулевой угол); обратным к данному повороту служит поворот, дополняющий его до 2π: β-1=δ, γ-1=γ, δ -1 = β.

6) Рассмотрим множество S всех взаимно-однозначных преобразований конечного множества М в себя. Такие преобразования называются подстановками. Алгебра ∑M = {SM; } представляет собой группу, которая называется симметрической. Поскольку число подстановок равно числу перестановок в списке элементов М, то порядок ∑M равен |M|!. Симметрическая группа не является абелевой. Пусть, например,

Тогда

4. 1) Любое полностью упорядоченное множество М (например, множество целых чисел) можно превратить в структуру, определив для любых

a, b М а b = max (a, b), a b = min (a, b).

2) Определим на N отношение частичного порядка следующим образом: а≤ b, если а делит b. Тогда a b — наименьший общий делитель а и b, а b — наибольший общий делитель а, b. Например, 9 12=36, 9 12 = 3, 5 7 = 1, 5 7 = 35.

3) Система всех подмножеств В(А) = {Mi} любого множества А частично упорядочена по включению: Мi≤Мj, если и только если Мi Мj. Эта система является структурой, элементами которой являются множества, а операциями - обычные теоретико-множественные операции объединения и пересечение (см. пример 1, п. 3).

4) Рассмотрим множество Вп двоичных векторов длины п, частично упорядоченное. Для двоичных векторов это упорядочение выглядит так: v≤w, если в векторе w единицы стоят на всех тех местах, на которых они стоят в v (и, может быть, еще на некоторые). Например, (010)≤(011), а (010) и (100) не сравнимы. Множество Вп, упорядоченное таким образом, является структурой; в ней v w — это вектор, в котором единицы стоят на тех (и только тех) местах, где есть единицы либо в v, либо в w, а v w — это вектор, в котором единицы стоят на те и только тех мест, где единицы есть и в v, и в w. Например,

(010) (100) = (110),

(010) (100)= 000.

При доказательстве теоремы 2 было установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством Вп и системой всех подмножеств любого множества А мощности п. Легко проверить, что это соответствие является изоморфизмом соответствующих структур; таким образом, струтура, которая описана в примере 1 (см. „Микромодуль 3. Примеры решения типовых задач”), и структура из настоящего примера изоморфны.

5. Пусть отображение θ, θ: Z → Z10 — остаток от деления на 10. Тогда

θ (20)= 0,

θ (17) =7, ...

Если мы рассмотрим простейшие системы (Z, +) и (Z10, + ) с операцией +, определенной естественным образом на Z и на «единичном столбце» для Z10, то легко видеть, что θ является гомоморфизмом. Например,

θ (24+ 38) = θ (62) = 2,

θ (24) + θ (38) =4 + 8 = 2 (в Z10).

В этом случае диаграмма будет выглядеть так, как это изображено на рис. 1.37.

Рис. 1.37

Таким образом, как мы уже говорили раньше, гомоморфизм одной структуры в другую является отображением, которое сохраняет структуру.

Можно вводить ограничение на ранг отображения, чтобы получить, например, сюръективность или инъективность. Поэтому, если отображение является гомоморфизмом, можно надеяться, что это обеспечит механизм перехода от структуры е структуре (и обратно!) без какой-либо потери информации.

Микромодуль 3.

Индивидуальные тестовые задачи

1. Следующих шесть операций, которые переводят вершины равностороннего треугольника, совмещают его с самим собой (рис. 1.38);

Рис. 1.38. Операции, совмещающие треугольник с самим собой.

1 - тождественная операция, оставляющая все вершины на месте;

α — поворот на 120° вокруг центра О, что переводит А в В, В в С, С в А;

β — поворот на 240° вокруг центра О, переводящий А в С, В в А, С в В;

S1 — симметрия, переводящая В в С и С в В;

S2 - симметрия, переводящая А в С и С в А;

S3 - симметрия, переводящая А в В и В в А.

Композиция любых двух операций приводит к тому же результату, что и некоторая операция из множества G={1, α, β, S1, S2, S3}, например композиция S2 и S1 дает β.

Запишите этот закон композиции в виде таблицы, исследуйте его свойства и определите тип соответствующей алгебраической системы.

2. Представьте каждую операцию из задачи 1 соответствующей ей подстановкой третьей степени на множестве вершин треугольника {А, B, C}, например

S1 = и т. д.

Покажите, что:

а) множество всех таких подстановок образует симметрическую группу шестого порядка, изоморфную группе операций в задаче 1;

б) каждое из подмножеств {1, α, β}, {1, S1}, {1,S2}, {1, S3} является группой подстановок.

3. Для группы G из задачи 1 постройте изоморфную ей группу подстановок шестой степени, элементами которых являются операции, которые совмещают треугольник с самим собой.

4. Даны многочлены:

f(x) = 1 + 5x6;

g(x) = 1 + 2х + х2;

q(x)= 25 — 20х + 15х2 — 10х3 + 5 х4;

r(х) = —24 — 30х.

Покажите, что

f(x) = g(x)q(x)+r(x)

двумя способами:

а) умножением и сложением многочленов;

б) делением (по убывающим степеням) многочлена f(x) на g(x).

5. Многочлен называется простым или неприводимым, если он не имеет других делителей, кроме самого себя и ненулевых постоянных. Укажите числовые поля (рациональное, действительное, комплексное) коэффициентов, в которых многочлен неприводим:

а) х2 — 4; б) х2 — 2; в) х2 + 1.

6. Разделите многочлен 1+5x6 на многочлен 1+2x+х2 по возрастающим степеням и сравните результат с полученным в задаче 4,б. Покажите на этом примере, что если f(x) не делится на g(x), то деление по возрастающим степеням может продолжаться до любой степени частного.

7. Делением по возрастающим степеням представьте бесконечными рядами выражения:

а) ; б) ; в)

8. Определите нули многочленов:

а) 10 — 3х — х2;

б) 1 — х — х2 + х3.

9. Покажите, что многочлен

х4 — 8х3 + 24х2 — 36х + 27