Дискретно-непрерывная математика (стр. 83 )

в) Пусть— регулярные F классы полугруппы S. Мы покажем, что отображение будет гомомор­физмом. Пусть s1,s2 S — регулярные элементы и предположим, что Тогда для каждого i = 1, ..., п, из этого следует, что s1Fs2 и поэтому s1Ls2.

Покажем теперь, что Пусть отображение есть гомоморфизм и предположим, что , а элементы s1, s2 регулярные. Нужно доказать, что для всех i = 1.....п, т. е. для каждого Ji и всех х Ji или и или

Предположим, что xs1 Ji и xs2 Ji. Тогда и поскольку

то Но это противоречие, так как Ji —единственный минимальный F класс в согласно пункту б). Таким образом, для каждого

Доказательство для отношения М проводится анало-.гично и из этого легко получается доказательство для отношения H.

г) Пусть предположим, что s1, s2 S — регулярные

элементы и Тогда согласно пункту б) s1Fs2. Пусть s1, s2 J. Тогда, поскольку φ является α' гомоморфизмом и J регулярен, φ действует как α гомоморфизм на J. Согласно утверждению 1.13 α классы S α J находятся во взаимно однозначном соответствии с α классами полугруппы Т, принадлежащими φ(J). Следовательно, s1αs2. Обратное очевидно. Оставшаяся часть утверждения проверяется легко.

д) Этот пункт следует из пункта в) и утверждения 3.7,

3.10. Определение. Пусть S — полугруппа и, — совокуп­ность пар (φ, Т), таких, что и φ есть γ гомоморфизм, т. е. ограничение φ на любую подгруппу является взаимно однозначным отображением (определение 1.12). Если то будем писать

Приступим теперь к доказательству того, что S имеет минимальный гомоморфный образ относительно

3.11. Лемма. Пусть І — максимальный собственный идеал полу­группы S и предположим, что существует , такой, что Пусть ψ— любой гомоморфизм полугруппы S. В этом случае ψ будет γ гомоморфизмом тогда и только тогда, когда ограничение ψ на I есть γ гомоморфизм.

Доказательство. Предположим, что ограничение ψ на I является γ гомоморфизмом. Пусть G — нетривиальная группа, принадлежащая S —I (если такой не существует, то все сделано). Пусть H = φ (G) и S1 — подполугруппа в φ-1(H). Тогда φ (S1) = H и поскольку φ (I) = φ (S), то имеем— непустой идеал полугруппы S1. Теперь φ будет обозначать ограничение φ на S1 Пусть К (S1) — ядро полугруппы S1. и поскольку при эпиморфизмах ядра переходят в ядра и группа представляет собой свое собственное ядро, то Но из предложения 1 из предыдущего микромодуля мы знаем, что каждая максимальная подгруппа из К (S1) переводится отображением φ на H. Поскольку φ взаимно однозначно на подгруппах, H изоморфна каждой максимальной подгруппе из К(S1).

Пусть G1 — одна из максимальных подгрупп, принадлежащих К (S1) и е — единица группы G1. Определим отображение из G в К (S1), пола­гая g→ ege. По теореме Риса в силу свойств переносов 0-простых по­лугрупп ege G1. Кроме того, это отображение взаимно однозначно, так как если ege = ehe, то φ (g) = φ (h), откуда следует, что g = h.

Теперь G1 I, поэтому ψ по предложению будет взаимно однознач­ным на G1. Пусть Тогда . Следовательно, из этого вытекает, что Следователь­но, Обратное утверждение очевидно.

3.12. Предложение. Полугруппа S имеет минимальный гомоморф­ный образ относительно , который обозначается Sγ и строится следующим образом. Если S — комбинаторная полугруппа, то Sγ ={0}. Если S — не комбинаторная, пусть J1, ..., Jk есть k различных F классов полугруппы S, упорядоченных так, что, если i<j, то JjJi. Гомоморфизм ψ полугруппы S определяется по индукции. Пусть ψ1 = GM . Предположим теперь, что ψj уже определен. Если ψj будет взаимно однозначным на подгруппах из Jj+1, положим Впротивном случае, пусть Тогда

Доказательство. Так как GM является взаимно однозначным на подгруппах из нетрудно проверить, что

Если теперь

мы должны показать, что из равенства ) вытекает равенство По индукции докажем эквивалентный результат. Если то для 1 ≤j≤k справедливы равенства

Предположим, что Пусть Докажем, что

x1 s1 x2J1, тогда и только тогда, когда Если