Дискретно-непрерывная математика (стр. 54 )

ра : П {Sa : а А}→Sa, которое называют проекцией ра (f)=f(а), проекция представляет собой эпиіморфизм. В случае, когда А={1,..., k}, перепишем произведение П {Sa : а {1, ..., k}} в виде S1 × ... × Sk, каждый элемент f S1 × ... × Sk представляется как [f (1), ..., f (k)]. Для проекции справедливо соотношение рj (s1, ..., sk) = sj.

13. Предположим, что А и В - непустые множества, a G — группа. Пусть С: В × А→G0 — некоторое отображение.

Полугруппа [(G × А × В) {0}, •], где символ 0 обозначает нулевой элемент, с операцией

(g1,a1, b1) • (g2,a2, b2) =

иазивається рисовской полугруппой матричного типа из сендвич-матрицей С над группой с нулем G0 и обозначается как M0 (G; А, В; С). Следовательно , (g1, а1, b1) (g2, а2, b2) = 0 тогда и только тогда, когда C(b1, а2)=0. Из этого следует, что для т1,...,mkM0(G; A, B;C) т1... mk=0 тогда и только тогда, когда mi mi+1= 0 для некоторого i = 1, ..., k — 1.

Иногда удобно представлять элемент (g, a, b) как |А| × |B| матрицу над полугруппой G0, у которой элемент с номером (а, b) равен g, а все остальные элементы — нули. Элемент 0 описанной полугруппы следует представлять как нулевую матрицу порядка | А | × |B |. Тогда, если C представить как | B | × | А | матрицу над группой с нулем G0, произведение матриц (g1, а1, b1) C (g2, a2, b2) имеет смысл (операция в полугруппе G0 определяется операцией сложения в группе G и соотношениями х + 0 = х = 0 + х для всех х (G0) и легко проверить, что это дает в точности ранее определенное произведение (g1, а1, b1) • (g2, а2, b2). Часто элемент (g, a,b) будет обозначаться нами как (g)ab, а полугруппа M0 (G; А, B; C) - как Smn(G, C), где т = | А| и п= |В |.

Следовательно, полугруппа Smn (G, C) состоит из всех т × п матриц с коэффициентами в группе с нулем G0, содержащими не более одного ненулевого элемента. Операция умножения в полугруппе Smn (G, C) определяется соотношением

(g)ab • (g')a'b' = (g)ab C (g')а'b',

где т = |А| и п =| B |. Очевидно, полугруппы Smn (G, C) и M0 (G; А, B; C) изоморфны.

Множество M0 (G; А, B; C) — {0} представляет собой подполугруппу в M0 (G; А, B; C) тогда и только тогда, когда матрица C не содержит нулевых элементов, т. е. 0 C(В×А). В этом случае обозначим подполугруппу M0 (G; А, B; C) — {0} как M (G; А, B; C).

Тогда [M (G; А, B; C)]0 = M0 (G; А, B; C).

Рисовская полугруппа матричного типа со структурной матрицей С над группой с нулем регулярна тогда и только тогда, если каждая строка и каждый столбец матрицы С содержит ненулевой элемент. Регулярные рисовские матричные полугруппы играют важную роль в структурной теории конечных полугрупп (см. микромодуль 8).

14. Пусть Е(S) обозначает множество идемпотентов полугруппы S, положим ІG (S) = <Е (S)>. Очевидно, что ІG (S) = Е (S), если S — коммутативная полугруппа. Пусть элементы е1 е2Е (S), будем писать:

е1 ≤ е2 в том и только в том случае, когда е1е2 = е1 = е2е1. Полугруппа S называется связкой тогда и только тогда, когда Е (S) = S. Полугруппы Аl и Аr являются связями. Полугруппа (2х, ) — коммутативная связка. Рассмотрим полугруппу S22 ({1}, G), где C (2, 2) =0 и С (а, b)= 1 для (а, b)≠ (2, 2) (см. 13), очевидно, что IG (S) ≠ Е (S).

15. Пусть G - группа. Обозначим через FM (п, G) множество всех п×п матриц над G0, каждый столбец которых содержит не более одного ненулевого элемента. Такие матрицы называются мономиальными по столбцам. Множество FM (п, G) всех п×п мономиальных по столбцам матриц над G0 образует полугруппу относительно обычной операции умножения матриц при условии, что х + 0 = х = 0 + х для всех элементов х G0. Аналогично, полугруппа RM (п, G) всех п×п мономиальных по строкам матриц над G0 состоит из всех матриц над G0, каждая строка которых содержит не более одного ненулевого элемента полугруппы G0. Заметим, что полугруппа RM (п, G) действует точно справа на Smn(G, С) при любых т, п, G, С; действие определяется справа на элементы полугруппы RM(n, G). Полугруппа FM(т, G) действует точно слева на Smn(G, С); действие определяется по помощи обычного матричного умножения слева на элементы полугруппы FM (m, G).

Мы введем понятие идеала полугруппы и опишем некоторые его свойства. Более подробно идеалы изучаются в микромодуле 8.

5. Определение. Пусть S — полугруппа. Непустое подмножество І S называется идеалом, если для всех i І и s S справедливы соотношения isI и si I. Следовательно, І будет идеалом тогда и только тогда, когда IS І и SІ I. Множество І называется левым или правым идеалом, если соответственно имеет место первое или второе из этих соотношений. Заметим, что идеалы, левые идеалы и правые идеалы представляют собой полугруппы.

Идеал полугруппы S называется минимальным, если он не содержит не равных себе идеалов полугруппы S. Идеал І полугруппы S называется 0-минимальным, если І ≠ {0} и І не содержит отличных от І и 0 идеалов полугруппы S. Заметим, что минимальный идеал есть 0-минимальным, кроме случая І={0}. Следовательно, в общем случае минимальность не влечет 0-минимальность. Минимальные и 0-минимальные левые и правые идеалы определяются аналогично.

Полугруппа S называется нулевой, если S2 = {0}.

Полугруппа S называется простой, если она не содержит собственных простых идеалов. Полугруппа S с нулем называется 0-простоя, если S2≠0 и {0} есть единственный собственный идеал из S. Заметим, что простая полугруппа — 0-простая, исключая случай S={0}. Следовательно, в общем случае из того, что полугруппа простая, не следует, что она 0-простая. Простая слева, 0-простая слева простая справа и 0-простая справа полугруппы определяются аналогично.

Замечание. Множество идеалов, левых идеалов и правых идеалов полугруппы S замкнуты относительно операций объединения и непустого пересечения. Если І1 и І2 — идеалы полугруппы S, то І1І2 — идеал в S и І1І2 І1 І2. Далее, если І1,..., Іп — множество всех идеалов полугруппы S, то І1 ... Іп = І1 ... Іп, и этот идеал называется ядром полугруппы S. Ядро обозначается К(S). Так как К(S) содержится в любом идеале полугруппы S, то это единственный минимальный идеал полугруппы S. К (S) = {0} тогда и только тогда, когда S — полугруппа с нулем.

Утверждение 1. Пусть S — полугруппа.

a) S — простая тогда и только тогда, когда SaS = S для всех a S.

б) S — 0-простая тогда и только тогда, когда S ≠ {0} и Sa S = S для всех а S, а ≠ 0.

Доказательство. Пусть S — 0-простая полугруппа. Тогда S2 будет ненулевым идеалом из S. Следовательно, S2 = S и Sn = S для любого целого п > 0. Для любого а S множество SaS — идеал в полугруппе S, поэтому SaS = S или SaS = {0}. Пусть І = {a S: SaS = {0}}. Очевидно, что множество І является идеалом, поэтому І = {0}. Но так как S3 = S, то І ≠ S. Следовательно, если 0 ≠ а S, то SaS = S.