Дискретно-непрерывная математика (стр. 22 )

Рис. 1.32. Вращение твердого тела:

а — композиция вращений; б — поворот на угол φ.

Пусть положение твердого тела в пространстве определяется

вектором = (х, у, z), который выходит с О. Тогда повороту тела на угол φ (0 < φ < 2π) вокруг оси, задаваемой выходящим из начала координат вектором =(b, c, d), отвечает такой же поворот вектора , переводящий его в = (х', у', z'). Векторам и соответствуют векторные кватернионы ξ и ξ'. Рассматриваемому повороту взаимно-однозначно соответствует кватернион α = (а, ), где

a = m cos(φ/2); т= .

Можно показать, что ξ' = α-1ξα. Если известны , φ и , то находим α, потом ξ' и , определяющий положение тела после поворота (рис. 1.32, б). Таким образом, поворотам твердого тела соответствуют указанные действия над кватернионами.

Если последовательно совершаются два поворота вокруг осей

1 = (b1, с1, d1) и 2 = (b2, c2, d2) соответственно на углы φ1 и φ2,

тo для произвольного вектора первый поворот дает α1-1ξα1, а второй поворот α2-1(α1-1ξα1)α2=(α1α2)-1ξ(α1α2). Следовательно, результирующий поворот определяется кватернионом α= α1α2, т. е. композиции поворотов отвечает перемножение (в соответствующем порядке) определяющих их кватернионов.

6. Множество классов вычетов по модулю т. Как известно, сравнение по модулю т есть отношение эквивалентности на множестве (кольце) целых чисел. Множество всех целых чисел разбивается на m классов эквивалентности М0, М1..., Мт-1, причем класс Mj объединяет числа j + km (k — произвольное целое число), вычеты которых равны j. Совокупность классов відніманнь по модулю т определяется системой представителей j = 0, 1, 2, ..., т — 1.

Сумма (произведение) двух классов вычетов по модулю т определяется как класс, который содержит сумму (произведение) представителей этих классов. Поэтому действия над классами можно представить как арифметические действия над их представителями по модулю т. Например, при т=4 сложение и умножения задается таблицами (числа являются представителями классов):

Сложение классов вычетов ассоциативно и коммутативно. Существует нейтральный элемент 0 (j+0=j), и каждый элемент j имеет симметричный ему такой, что j+=0 (mod m). Так, для представителей 0, 1, 2, 3 симметричными являются соответственно 0, 3, 2, 1. Отсюда следует, что множество классов вычетов при любом т образует абелеву группу относительно сложения.

Умножение классов вычетов также ассоциативно и коммутативно. Существует нейтральный элемент 1 (j∙1=1∙ j = j). Но относительно умножения не каждый элемент j имеет симметричный такой, что j=1 (mod m). Действительно, как видно из таблицы, при т=4 это соотношение имеет место только для 1 и 3, поскольку 1∙1=1(mod 4) и 3 ∙3 =9=1 (mod 4), т. е. 1 и 3 симметричны самим себе, а элементы 0 и 2 не имеют симметричных. Следовательно, множество классов вычетов относительно умножения не является группой, а образует моноид (полугруппу).

Если т — простое число, то каждый отличный от нуля элемент j имеет симметричный ему и относительно умножения классов вычетов по модулю т. Действительно, из условия симметричности множества классов вычетов j = 1 (mod m) можно записать:

j =1+km, где k — целое число. Это значит, что симметричные элементы получаются делением 1+km на j = 1, 2, ..., т — 1, причем в результате этого деления должны получаться целые числа <т. А это возможно только при условии, что т — простое число. Заметим, что элементы 1 и т—1 всегда симметричны сами себе. Элемент 0 не имеет симметричного ни при каком т>1.

Таким образом, множество классов вычетов по модулю т относительно первого закона композиции (сложение) и второго закона (умножение) при любому т образует абелево кольцо с единицей, а при простых т — поле.

7. Поле комплексных чисел. Комплексное число z= а + bі, где

а=Re z - действительная часть и b= Im z — мнимая часть, можно рассматривать как упорядоченную пару (a, b) двух действительных чисел, которые являются элементами множества R.

На множестве комплексных чисел определяются два внутренних закона — сложение

z1+z2= (а1 + а1, b1 + b2)

и умножение

z1z2 = (а1а2 — b1b2, а1b2 + а2b1).

Два числа z1 и z2 равны, если а1 = а2 и b1 = b2.

В принятых обозначениях i=(0,1), следовательно, i2=(0,1)(0,1)=(—1,0) или i2=—1. Действия над комплексными числами в форме z=а+bi можно выполнять как с действительными числами, заменяя всякий раз i2 на —1.

Комплексно-сопраженным с числом z = а + bi является число z* = а — bi. Справедливы следующие соотношения:

z + z* = 2а;

z z* =а2 + b2;

(z1 + z2)*= z1*+z2*;

(-z) * = -z*;

(z1∙ z2)*=z1*z2.

Множество комплексных чисел составляет коммутативную группу относительно сложения. Действительно, сложение коммутативно и ассоциативно, нейтральным элементом служит нуль (0, 0), а симметричное числу z = (а, b) есть —z = (-а, - b).

Относительно умножения нейтральным элементом является единица (1, 0), и всякое отличное от нуля комплексное число z=а+bi имеет симметричное (обратное)

,

где - модуль комплексного числа.

Так как умножение дистрибутивно относительно сложения, то множество комплексных чисел составляет поле.

Комплексное число представляется в тригонометрической и экспонентной форме соотношением

z=|z| (cosφ + isinφ) =|z|eiφ.

Здесь z - модуль и φ - аргумент комплексного числа, определяемый с точностью до целого кратного 2π, причем

φ =argz = arctg(b/a).

Произведение двух комплексных чисел

z1z2=|z1| •|z2|[сosφ + φ2) + i sin(φ1 + φ2)],

т. е.

| z1z2| =|z1| •|z2| и arg|z1z2|= argz1 + argz2.

При геометрическом представлении комплексных чисел в прямоугольной системе координат ось абсцисс используется для изображения действительной, а ось ординат — мнимой частей. Их соответственно называют действительной и мнимой осями на плоскости комплексной переменной (рис. 1.33, а).

Рис. 1.33. Геометрическое представление комплексных чисел:

а — комплексная плоскость; б — суммированием комплексных чисел.

Числу z= а + bi соответствует вектор ОА и точка А с координатами а и b, которая называется аффиксом числа z. Суммированию комплексных чисел соответствует геометрическое сложение векторов на комплексной плоскости (рис. 1.33, б). Отсюда, в частности, следует |z1+z2|≤|z1|+|z2| (правило треугольника).

8. Поле Галуа. Хорошо известные поля целых и действительных чисел — это бесконечные множества (соответственно счетное и континуальное). Конечное поле называют полем Галуа. Так, множество с четырех элементов 0,1, А и В образует поле Галуа, операции сложения и умножения в котором определяются следующими двумя таблицами: