Дискретно-непрерывная математика (стр. 66 )

а = aba

Утверждение 16. Пусть a, b S — регулярные элементы.

а) La ≤Lb тогда и только тогда, когда существуют (идемпотентные) элементы а1 La и b1 Lb, такие, что a1b1 = а1.

б) Ra ≤ Rb тогда и только тогда, когда существуют (идемпотентные) элементы а1 Ra и bx Rb, такие, что b1а1 = а1.

в) Ja ≤ Jb тогда и только тогда, когда существуют (идемпотентные) элементы а1 Ja и b1 Јb, такие, что a1b1=а1=b1а1 (т. е. a1≤b1, если а1 и b1 — идемпотенты).

Доказательство. а) Предположим, что La ≤ Lb. Так как элементы а и b регулярные, существуют элементы х, у S1, такие, что а = аха и b = byb. Отметим, что ха£а и уb£b. Но поскольку хаLa≤ Lb, мы получим ха S1b.

Положим ха = sb. Тогда (ха) (yb) = sbyb = sb = xa. (Отметим, что ха и yb — идемпотенты.)

Обратно: если существуют элементы а1 La и b1 Lb, такие, что a1b1 = а1, тo S1а=Sla1=S1a1b1 S1b1 = Slb, т. е. La ≤ Lb. К пункту б) применяем дуальные рассуждения.

в) Предположим, что существуют элементы а1 Ja, b1 Jb, такие, что a1b1 = а1 = b1а1. Тогда S1а1S1= S1a1b1S1 S1b1S1, т. е. Ja ≤ Jb. Наоборот, если Ja ≤ Jb, предположим, что х Ja, у Jb — такие элементы, которые а = аха и b = byb. Пусть b1 = yb и a2 = xa. Тогда b1 и a2 идемпотенты. Кроме того, b1 Jb, a2 Ja, т. е. в частности, a2 J(a) J(b) =J(b1)=S1b1S1. Пусть s1, s2 S1 — такие элементы, что s1b1s2 = a2.

Положим a1= b1s2a2s1b1. Тогда а1 является идемпотентом и a2=s1a1s2, т. е. . Наконец, a1b1=a1 = b1а1. Утверждение полностью доказано.

Определение 14. Полугруппа S называется регулярной, если каждый F класс J полугруппы S регулярный.

Утверждение 17. а) Полугруппа S регулярна тогда и только тогда, когда регулярен каждый ее элемент.

б) Полугруппа S регулярна тогда и только тогда, когда для всех элементов а S класс La или (Ra) содержит идемпотент.

в) Полугруппа S регулярна тогда и только тогда, когда J J2 для каждого F класса J из S.

г) Полугруппа S регулярна тогда и только тогда, когда для каждого правого идеала А и левого идеала В АВ = А В.

д) Если S и Т — регулярные полугруппы, то полугруппа S × Т и образ при гомоморфизме полугруппы S будут регулярны. Идеалы полугруппы S — регулярные полугруппы, но правые или левые идеалы (следовательно, и подполугруппы) могут не быть регулярными.

е) Если S — регулярная полугруппа, то каждый ее композиционный ряд является главным рядом.

ж) Каждая полугруппа представляет собой подполугруппу регулярной полугруппы.

Доказательство. а, б) Пусть S — регулярная полугруппа, тогда по теореме Риса каждый элемент полугруппы S будет регулярным. Пусть а S, тогда полугруппа J0a изоморфна регулярной рисовской полугруппе матричного типа М° (G; А, В; С).

Пусть а = (g)ij, i A, j В, g G. Существуют элементы k В и l А, такие, что C (j, k) ≠ 0 и C (l, i) ф 0. Тогда b = (С (j, k)-1 g-1C (l, i)-l)kl есть такой элемент полугруппы S, что а = aba (и b = bab).

Если элемент а регулярный, т. е. а = aba для некоторого элемента b, то ba La и ab Ra — идемпотенты.

Если каждый L класс и, следовательно, каждый F класс содержит идемпотент, то не существует нулевых F классов в полугруппе S. Следовательно, S регулярная. Это доказывают пункты а) и б).

в) Предположим, что S — регулярная полугруппа и а S. Тогда а = aba для некоторого элемента b. Так как а F bа, мы имеем а= abaJ2а. Следовательно, J J2 для всех классов J в полугруппе S. Наоборот, из включение J J2 вытекает (J 0)2 ≠ {0}. Поэтому каждый класс J регулярный.

г) Пусть S — регулярная полугруппа и х А В. Тогда существует элемент у S, такой, что хух = х. Но из включения х В вытекает, что ух В, т. е. х = хух АВ и АВ =А В. Обратно, если АВ =А В для каждого правого идеала А и левого идеала В, то для любого элемента

х S х x S 1 S1х = xS1x, т. е. х xSx, или х = x1x = х2 = х3 xSx. Это доказывает данный пункт.

д) Свойство аaSa сохраняется при гомоморфизмах и взятии конечных прямых произведений. Пусть I — идеал полугруппы S и а I. Так как S — регулярная полугруппа, существует элемент b S, такой, что а = aba и b = bab. Но тогда b I, т. е. I — регулярная подполугруппа.