Дискретно-непрерывная математика (стр. 63 )

Определение 10. Пусть множество J является F классом полугруппы S. Как и раньше, R1, ..., Rm и L1, ..., Ln обозначают соответственно R и L классы полугруппы S, принадлежащие классу J. Пусть {Нij = Ri Lj}, i = 1, ..., m; j = 1, ..., п есть H классы полугруппы S, которые принадлежат J. Предположим, что h0 — фиксированный элемент из класса Н11. Для номеров i = 1,...,m; j = 1,...,п выберем элементы li, rj S1, такие, что h0rjН1j и li h0Н i1 (элементы li и rj могут не принадлежать множеству J). Для удобства будем считать, что l1=r1=1. Тогда согласно утверждению 5 соответствие h→lihrj определяет взаимно однозначное соответствие Н11 в Hij. Но для каждого элемента h Н11 существует единственный элемент π Р G (J), такой, что h=h0π. Следовательно, при заданных элементах li и rj каждый элемент s J единственным образом представляется в виде s= li (h0π) rj Hij . Взаимно однозначное эпиморфное отображение

C:J→→G(J)×{l,...,m}×{l,...,n},

определеняемое как С [li (h0π) rj]= (π, i, j), называется координатным отображением для J. Каждый выбор элементов li и rj определяет координатное отображение для J.

Если класс J регулярный, выбранный класс Н11 будет группой и выбранный элемент h0 будет единицей группы Н11, то данное здесь определение координатных отображений совпадает с введенными ранее определениями.

Координатные отображения для J распространяются на J0, если считать, что нуль переходит в нуль, добавленный к области значений. Если класс J регулярный, то эти расширения будут, конечно, координатными отображениями для 0-простой полугруппы J 0. Если класс J нулевой, то образы расширений можно рассматривать как (нерегулярную) рисовскую полугруппу матричного типа, М0 (G (J); {1, ..., m}; Р), где Р (j, i) = 0 для всех i, j.

Мы вернемся теперь к ситуации, которая описана в утверждении 11.

Утверждение 12. а) Пусть J1 — нулевой F класс полугруппы S1, содержийся в прообразе φ-1(J2). Тогда существуют координатные отображения С1 : J1→→ G (J1) × А × В и C2 : J2 →→ G (J2) × С × D, такие, что θ = C2 φ С1-1 задается соотношением

θ (g, а,b) = (λ(а)ω(g)δ(b),ψL (а),ψR (b)) (3.6)

где ω: G (J1)→G (J1) есть гомоморфизм, a ψL : A → C, ψR: B → D,

λ : A → G (J 2) и δ : B →G (J 2) — отображения.

б) Пусть J1 — минимальный класс в φ-1(J2). Тогда φ(J1) = J2 и каждый L и R классы, которые принадлежат J1, отображаются на L и R классы соответственно, принадлежащие классу J2 (утверждение 11). Следовательно, для каждого c С имеем

G (J 2) = λ [ψL-1 (с)] ω [G (J1)]

и для каждого d D имеем

G (J 2) = ω [G (J1)] δ [ψR-1 (d)]

Доказательство. а) Как и в предложении 1, перенумеруем R и L классы, которые принадлежат J2, так, что φ (Н11). Выберем базисный элемент h0 Н11, пусть С1 — любое координатное отображение для класса J1, которое определяется соотношением С1 [lа (h0π) rь] = (π, а, b), где π Р G(J1). Пусть C2 — любое координатное отображение для класса J2, которое определяется соотношением C2 (хс [φ (h0) q] yd) = (q, c, d), где q Q G(J2).

Обозначение. Пусть π ' P' FL (H11) — такой единственный элемент, что π'(h0) = (h0) π, π P FR(H11) [см. пункт а) предложения 2]. Аналогично пусть q' — такой единственный элемент в Q', что q'φ(h0)= φ (h0) q. Пусть — любой элемент из RI(H11), такой, что ( ) = π, т. е. (h0) π = h0. Аналогичные обозначения используются для π ', q, q'.

Определим отображение ω : Р→Q следующим образом. Пусть π Р, тогда определим ω(π) как такой единственный элемент из Q, что φ(h0π) = φ (h0) ω(π). Покажем, что ω — гомоморфизм, пусть π 1, π 2 Г. Тогда

Учитывая единственноть представления, получаем, что отображение ω является гомоморфизмом.

Определим ψL и ψR, полагая, как и в предложении 1, φ(Hаb) . Определим отображение λ: А→ Q, полагая, что оно описывает φ(lah0) для каждого элемента а А, т. е. φ(lah0) , пусть тогда λ (а) Q — единственный элемент, такой, что φ(lah0)= [φ (h0) λ(а)]. (Напомним, что согласно выбору

l1,r1,х1,y1=1). Аналогично определяем отображение δ:B→Q, полагая φ (h0rb) = [φ (h0) δ (b)] .

Пусть s = la (h0 π) rb Ј1. Тогда

Следовательно, отображение θ = C2 φ С1-1 имеет требуемый вид.

б) Так как каждый R класс, который принадлежит Ј1, отображается на R класс, который принадлежит J2, имеем φ(R1) =. Рассмотрим в R1 прообраз произвольного H класса, который принадлежит , например . Этот прообраз является объединением H классов, которые принадлежат R1, пусть он имеет вид {Н1b : b ψR-1(d)}. Образ каждого H класса в этом множестве есть

для всех b ψR-1(d). Но по предположению λ (1) = 1- единица группы

G (J2). Тогда, поскольку множество {Н1b : b ψR-1(d)} отображается на , получаем, что

{ω[G (J1)] δ(b) : b ψR-1(d)}= G (J2).

Так как G (J2) есть группа, это эквивалентно соотношению

G (J2)= ω[G (J1)] δ[ψR-1(d)].

Посредством аналогичных рассуждений в дуальном случае доказывают оставшуюся часть утверждения.

Замечание 12. Следующий пример показывает, что в общем случае, если J1 — минимальный класс в φ-1(J2) (ситуация, которая описана в утверждении 11), то Н классы полугруппы S1, принадлежащие J1, не обязательно отображаются на Н классы полугруппы S2, принадлежщие J2.

Пусть G — группа, Н — подгруппа, — множество представителей смежных классов {gН : g G} и — множество представителей смежных классов {Hg : g G}. Пусть А и В — конечные множества. Символ R обозначает множество вида {0} (А × { } ×Н × { }× B) и V — множество вида (А × G ×B) {0}. Символ Т обозначает группу SYML (A)×G×SYMR (B). Пусть S1 — полугруппа, которая состоит из элементов дизъюнктивного объединения Т R, где Т — подгруппа, R — нулевая подполугруппа, 0 — элемент из S1. Если (f1, g, f2) T и (а, , h, , b) R — {0}, то