Дискретно-непрерывная математика (стр. 58 )

Из определений H, L, R, и F сразу же вытекает, что:

1) R, и L классы — непересекающиеся объединения H классов;

2) F классы — непересекающиеся объединения L классов;

3) F классы — непересекающиеся объединения R классов;

4) следовательно, F классы — непересекающиеся объединения H классов;

5) каждый H класс— пересечение R и L классов;

6) пересечение L и R классов есть или пустое множество, или H класс.

Следующий факт устанавливает (для конечных полугрупп), что внутри F класса пересечения R и L классов никогда не будет пустым и что все H классы из F класса находятся во взаимно однозначном соответствии.

Утверждение 5 (Грин). Пусть S — полугруппа. Тогда справедливы следующие факты.

а) F = D. (Напомним, что мы рассматриваем только конечные полугруппы, если только противное не оговорено. Существуют бесконечные полугруппы, для которых F ≠ D. В действительности F = D, если каждый элемент полугруппы S, возведенный в некоторую степень, будет идемпотентом).

б) Пусть J - некоторый F класс полугруппы S. Тогда L R≠ для всех L классов L из J и всех R классов R из J.

в) hFhх тогда и только тогда, когда hR hх для всех элементов х, h S.

г) hFхh тогда и только тогда, когда hLxh для всех элементов х, h S.

д) Пусть элементы s1, s2 S и s1Ls2; x, у S1 — такие элементы, что xs1=s2 и ys2=s1; отображения φ: R →R и θ: R→ R определяются соотношениями φ (s) = xs и θ (t) =yt. Тогда оба отображения φ и θ будут взаимно однозначными и эпиморфными и φ -1 = θ. Для а, b R из а L b вытекает, что φ (a) L φ (b). Следовательно, аHb, тогда и только тогда, когда φ (а) H φ (b), т. е. отображение φ и θ переводят H классы на H классы. Дуальное предложение также справедливо.

е) Пусть элементы s1, s2 S и s1Fs2; s S1, w, x, y, z S1 — такие элементы, что ws1 = s, xs =s1, sy =s2 и s2z = s; отображение α : H → H и β : H → H определяются соотношениями α(t)= wty и β(и) = xuz. Тогда оба отображения α и β будут взаимно однозначными и эпиморфными и α-1 = β. Следовательно, любые два H класса полугруппы S, содержащиеся в одном и том же F классе, находятся во взаимно однозначном соответствии.

Доказательство. а) Если s1Ds2, то существует элемент s S, такой, что s1L s и sR s2. Следовательно, s1 F s F s2, так что из s1Ds2 вытекает s1F s2.

Предположим, что s1F s2. Тогда существуют элементы w, х, у, z S1, такие, что ws1x = s2 и ys2z = s1. Следовательно, yws1xz = s1, поэтому (yw)п s1 (xz)n = s1 для п ≥ 1. Для некоторого N > 2 элементы (yw)N =е2 и (xz)N=е2 являются идемпотентами. Следовательно, e1s1 = е1 (е1 s1е2) = е1 s1е2 = s1, так что [(yw)N-1 y]ws1=s1 и поэтому ws1Ls1. Аналогично s1xRs1. Следовательно, s2=ws1хRws1Ls1, но, поскольку отношение R левоинвариантно, s1Ds2. Следовательно, F = D.

б) Пусть L и R будут соответственно L и R классами, которые принадлежат J. Пусть а L, b R. Тогда аFb, так что aDb, т. е. существует элемент cS, такой, что аLсRb. Следовательно, c L R.

в, г) Пусть элементы х, h S. Если hR hх, то hF hх. Обратно, если

hFhх, то существуют элементы а, b S1, такие, что h = ahxb = anh (xb)n для всех п > 0, поэтому, рассуждая так же, как в пункте а), получаем hR hх.

Доказательство пункта г) дуально к доказательству пункта в).

д) Отображения φ и θ имеют требуемые области значений, поскольку отношение R левоинвариантно. Если s R, положим s = s2z для некоторого элемента z S1. Тогда φθ(s) = xys2z = s2z = s. Аналогичные рассуждения приводят к тому, что θφ(t) = t для элементов t R. Следовательно, отображения θ и φ взаимно однозначные и эпиморфные и θ-1 = φ. Так как для элемента s R, φ(s)=xs и уφ(s) = s, получаем, что sL φ (s) для всех s R , поэтому, в частности, из отношения s1Ls2 вытекает, что φ(s1) L φ(s2).

е) Рассматривая композицию отображений a→wa и с→су и применяя рассуждения, которые дуальны к рассуждениям при доказательстве пункта д), получаем требуемое.

Замечание 5. Из пункта е) утверждения 5 немедленно следует, что если φ — гомоморфизм на полугруппе S, ограничение которого на H класс Н взаимно однозначно, тo φ будет взаимно однозначным на каждом H классе F, эквивалентном классу Н. В самом деле, пусть Н1FН и h1, h 2 Н1 — такие элементы, что φ (h1) = φ (h2). Тогда, как мы знаем, существуют элементы х, у S1, такие, что хН1у = Н. Теперь xh1y, xh2y Н и φ(xh1y) = φ(xh2y), так что xh1y =xh2y. Но так как отображение h→xhy взаимно однозначно, получаем h1 = h2.

Замечание 6. Далее будет показано, что для каждого F класса J полугруппы S можно так ввести систему координат, что закон умножения полугруппы J0 относительно этой системы будет иметь некоторый естественный вид.

Предположим, что J — F класс полугруппы S. Пусть R1, ..., Rm есть R классами в J и L1, ..., Ln есть L классы из J. Тогда по утверждению 5 H классы, которые принадлежат J, описываются как {Hij = Ri Lj : i = 1, ..., m; j = 1, ..., n}. Следовательно, мы получаем для J наглядный образ, называемый «eggbox»-кapтинкой. Она представляет собой прямоугольную таблицу, строки которой соответствуют R классам, а столбцы — L классам (содержащимся в J), и пересечение каждого столбца с каждой строкой определяет (внутри клеточки таблицы) некоторый H класс (см. рис. 3.1). Из пункта е) утверждения 5 следует, что любые H классы из этой таблицы находятся во взаимно однозначном соответствии, там же описаны отображения, которые переводят один H класс на другие.

Рис. 3.1

Здесь изображена «eggbox»-кapтинкa для F класса J. Строки соответствуют R классам полугруппы S, содержащимся в J. Столбцы соответствуют L классам полугруппы S, содержащимся в J. На пересечении строки и столбца получается H класс полугруппы S, содержащийся в J. Класс J нулевой или регулярный. Если J — регулярный, эти классы совпадают с неравными нулю классами из J° и умножение определяется с помощью теоремы Риса.

Утверждение 6 (Грин). Пусть S — полугруппа.

а) Каждая подгруппа из S содержится в некоторому H классе полугруппы S. H класс Н полугруппы S будет подгруппой тогда и только тогда, когда существуют элементы s1, s2 Н, такие, что s1s2 Н. Таким образом, Н есть подгруппа в S тогда и только тогда, когда Н содержит идемпотент. Следовательно, максимальные подгруппы полугруппы S — это в точности H классы полугруппы S, содержащие идемпотенты.

б) Пусть S есть 0-простой полугруппой, тогда каждый R и каждый L класс полугруппы S содержит идемпотент.

Доказательство. Очевидно, что каждая подгруппа из S содержится в H классе. Перейдем к проверке второго утверждения: если s1, s2, s1s2 Н, то s→ss2 и s→ss2 являются взаимно однозначными отображениями Н на себя (согласно утверждению 5). Следовательно, s1Н = Н = Hs2, так что, если х1, х2 Н, то х1Н = Н = Нх2. Так как это имеет место для всех элементов х1, х2 Н, то Н будет подполугруппой полугруппы S, причем эта подполугруппа простая слева и справа. Следовательно, Н есть группа (см. упражнение 6 из настоящего микромодуля). Оставшаяся часть пункта а) доказывается очень легко.