Дискретно-непрерывная математика (стр. 48 )

Замечание 1. Тот факт, что композиция перемещений первого рода есть перемещение первого рода, непосредственно следует из теоремы 4, что является еще одним его доказательством.

Замечание 2. Мы не имеем возможности осветить все аспекты теории пространственных перемещений. Подробно эта теория изложена в книге Коксетера «Введение в геометрию».

Равно как в случае плоскости, множество всех перемещений пространства образовывает группу, операцией в которой есть композиция перемещений. Эта группа обозначается Е(3).

Согласно сказанному выше множество всех перемещений первого рода образует подгруппу Ео(3) в группе Е(3). Поскольку трансформация G-1°F°G произвольного перемещения первого рода есть снова перемещение первого рода, то эта подгруппа инвариантна в группе Е(3). Аналогично случаю плоскости существует ровно два класса по этой подгруппе: она сама и класс перемещений второго рода. Поэтому Ео(3) имеет индекс 2 в группе Е(3) и факторгруппа Е(3) по Ео(3) есть циклическая группа из двух элементов.

Рассмотрим теперь подгруппы группы Е0(3). В качестве своей подгруппы эта группа содержит группу Т(3) всех параллельных переносов пространства. Этот факт непосредственно следует из теоремы 4, согласно которой композиция двух параллельных переносов есть снова параллельный перенос. Группа Т(3) коммутативна. Проще всего это установить, если заметить, что композиция двух параллельных переносов изображается диагональю параллелограмма, сторонами которых служат эти параллельные переносы.

Дословным повторением доказательства предложения 3 выходит

Предложение 5. Группа Т(3) является инвариантной подгруппой в группе перемещений первого рода Е0(3).

Бесконечную серию подгрупп группы Ео(3) образуют подгруппы поворотов вокруг фиксированных осей. Действительно, если l - некоторая ось, Rαl, Rβl — два поворота вокруг нее, то композиция Rαl°Rβl есть поворот вокруг этой же оси на угол α+β. Тождественное перемещение можно рассматривать как поворот вокруг оси l на нулевой угол. И, наконец, обратным к повороту Rαl есть поворот вокруг оси l на угол -α. Поскольку Rαl°Rβl =Rlα+β=Rlβ+α=Rβl°Rαl, то группа поворотов вокруг фиксированной оси коммутативна.

Более интересную серию подгрупп в Ео(3) образуют перемещения первого рода, которые имеют данную недвижимую точкуку. Пусть А - некоторая точка пространства. Рассмотрим все такие перемещения из Ео(3), для которых точка А является неподвижной, т. е. такие перемещение F, что F(A)=A. Если F1 и F2 — два таких перемещения, то для F2 F1 имеем F2 F1(A)=F2(A)=А. Значит, для F2 F1 точка А также является неподвижной. Ясно, что тождественное перемещение оставляет точку А на месте. Кроме того, если F (А)=А, то F-1(А)= А. Это доказывается так:

Поскольку F-1 F = Е— тождественное перемещение,

то

A = F-1 F(A) = F-1(A).

Таким образом, перемещение, обратное к перемещению с недвижимой точкой А, само есть перемещения с недвижимой точкой А.

Итак, перемещения, имеющие данную недвижимую точку, образуют группу. Понятно, что эта группа является подгруппой в Ео(3). Кроме того, любые такие подгруппы, одна из которых оставляет неподвижной какую-нибудь точку А, а другая - точку А', — изоморфны между собой. Эти изоморфные группы принято обозначать SO(3) или SO(3)А, если мы хотим указать конкретную неподвижную точку А.

Группа SO(3)А содержит в качестве подгрупп все группы поворотов вокруг осей, проходящих через точку А. Более подробная информация о группе SO(3)А получается из следующего предложения.

Предложение 6. Любое перемещение F из SO(3)А имеет вид

F = ,

где l1 и l2 — некоторые прямые, которые проходят через точку А.

Доказательство. Пусть В — некоторая точка пространства, которая отличная от А и B'=F(B). Имеем |АВ|=|АВ'|; следовательно, точку В' можно совместить с точкой В посредством поворота вокруг оси l2, перпендикулярной к плоскости ВАВ' (и которая проходит через точку А) на угол γ, равный углу В'АВ. Таким образом, композиция F оставляет на месте точки А и В, а значит, и любую точку прямой l1 = (АВ). Следовательно, перемещение F есть поворот вокруг оси l1 на некоторый угол α:

F = .

Возьмем композицию этого поворота и поворота = :

= = F = F = F,

что и требовалось доказать.

Выясним теперь, что происходит при трансформации группы SO(3)a некоторым элементом GЕо(3). Прежде всего заметим, что для перемещений пространства дословно остаются в силе рассуждения, предшествующие предложению 2 предыдущего пункта. А именно, если F и G два перемещения из Е0(3) и Н= G F G-1, то перемещение Н полностбю определяется формулой

H°G(P) = G°F(P),

совпадающей с формулой (2.46) предыдущего пункта. Поэтому имеет место следующее утверждение.

Предложение 7. Если F — перемещение с SO(3)a, то H = G F G-1 есть перемещение из группы SO(3)G(A).

Доказательство. Так как F(A)=A, то указанная выше формула принимает вид

H G(A)=G F(A) = G(A),

т. е. перемещение Н оставляет неподвижной точку G(A). Следовательно,

Н SO(3)G(A).

Из этого утверждения вытекает, в частности, что никакая из групп SO(3)А не является инвариантной подгруппой в Е0(3).

Замечание. Предложение 7 можно усилить. А именно, можно показать, что если перемещение FSO(3)А разложено в композицию F= , то Н SO(3)G(A) представляется в виде композиции H= , где прямые т1 и т2 проходят через точку G (А), причем угол между этими прямыми равен углу между прямыми l1 и l2. Доказательство этого утверждения мы оставляем читателю.