Дискретно-непрерывная математика (стр. 97 )

Действуя далее таким же образом, можно получить последователь­ность длины n, удовлетворяющую условиям 1—3 определения θh. Следовательно,. Очевидно, по лемме 2.24, что поэтом

для каждого разложения E полугруппы S.

2.27. Замечание. а) Пусть Тогда

разложение E для набора , задаваемое как

N2, называется тривиальным разложением.

б) Следующее разложение является очень важным. Пусть задан наборположим

Обратимся к замечанию 3.32 из микромодуля 9. Нам известно, что G2 действует на отождествленные L классы из J1. Пусть R — область определения G2 и — разложение в объединение непересекающихся компонент, где (Ri, G2), i = 1, ..., п, — транзитивные компоненты группы преобразований (R, G2). Пусть ядро группы G2, действующее на Ri есть N2i. Тогда легко видеть, что Мы определяем

как единственное разложение, ассоциированное с Будем называть его разложением транзитивных компонент для полу­группы S.

2.28. Лемма.

Доказательство. Из определения θi легко вытекает, что если Т ≤ S, то Кроме того, справедливы следующие два утверждения:

а) пусть Тогда

и N— полугруппа типа I}, где по оп­ределению max для пустого множества равен нулю;

б) пусть S — некомбинаторная полугруппа типа I. Тогда

Для доказательства пункта а) положим , пусть (T1, ..., Тп)

— максимальная последовательность для полугруппы .S, удовлетворяющая условиям пункта и) определения 2.4. Тогда (T1, ..., Тп) есть последовательность и для Т1 так что

Но Т1 ≤ S, поэтому

Перейдем к доказательству пункта б). Пусть и (T1, ..., Тп)

— максимальная последовательность для полугруппы S. Тогда

так что и поэтому

(S, Т2, Т3, ..., Тп) — другая максимальная последовательность для S, так как S — полугруппа типа I. В этом случае очевидно, что

≥ n— 1, так как она имеет последовательность (T2, ..., Тп). Однако если . Это противоречие. Следова тельно,

Допустим теперь, что утверждения а) и б) справедливы также для θ. Мы заявляем тогда, что θ = θi. Докажем это равенство индукцией по |S|. Предположим, что θ = θi, для всех полугрупп S, таких, что | S | ≤ n —1. Пусть S — полугруппа порядка п.

Предположим, что S не есть полугруппа типа I. Тогда каждая по­лугруппа из множества и Т—полугруппа типа I} будет собственной подполугруппой в S, следовательно, по предположению индукции для каждой такой полугруппы Т. Но тогда в силу пункта Теперь предположим, что S — не­комбинаторная полугруппа типа I. Тогда IG (S) < S, поскольку для θi справедлив пункт б). Следовательно, по­этому согласно пункту б)

Таким образом, достаточно доказать справедливость пунктов а) и б) для θ. Мы сделаем это с помощью следующих двух лемм.

2.29. Лемма. Пусть Тогда

и Т—полугруппа типа I},

где по определению max пустого множества равен нулю.

Доказательство. Мы построим такую подполугруппу Т в S, что θ (T) = θ (S) и Т имеет тип I.

Возьмем разложение транзитивных компонент E для полугруппы S. Пусть — максимальная

последовательность, удовлетворяющая условиям 1—3 определения

Сперва мы построим новую последовательность которая также удовлетворяет этим условиям. Пусть Gn =G′n, Nn =N′n и Yn-1 — транзитивная компонента группы Gn, определяемаяесть объединение L классов из Jn-1. Пусть Gn-1 — максимальная подгруппа, принадлежащая классу Jn-1, ко­торая R эквивалентна G′n-1 и которая содержится в Yn-1. Тогда пусть — ядро отображения

Согласно утверждению 3.30 из микромодуля 9, если элемент en-1 есть единица группы Gn-1, то Так как

то Nn есть элемент разло­жения транзитивных компонент для

Поскольку N′n-1 кодирует транзитивную компоненту группы G′n-1 в Jп-1, согласно утверждению 3.33 из микромодуля 9 кодирует транзитивную компоненту для Gn-1 в Jп-2. Назовем ее Yn-2. Выберем такую максимальную подгруппу что Пусть тогда — ядро гомоморфизма . Как и ранее, пусть Nn-1 есть элемент разложения для Продолжая эти рассуждения, получаем искомую последовательность.

Предположим, что Yi, i = 1, ..., п— 1, — только что описанные транзитивные компоненты для Gi+1. Пусть уi Yi. Тогда Jiyi есть L класс, содержащий уi и

Построение подполугруппы Т проводится по индукции. Положим T1 = Gn ≡ Хп. Очевидно, что Т1 — полугруппа типа I.

Пусть Множество Т2 яв-

ляется полугруппой, так как содержит два F

класса Хп и Хп-1, причем Xn-1 < Хп. Легко видеть, что