Дискретно-непрерывная математика (стр. 41 )

f(a1• a2)=f(a1)• f(a2), (2.32)

причем знак • в левой части равенства (2.32) необходимо, естественно, понимать как знак умножения в группе А, а в правой части равенства (2.32) как знак умножения в группе В.

Теорема. Если f есть гомоморфное отображение группы А в группу В, то множество f(A) B есть подгруппа группы В.

Доказательство. Достаточно показать, что:

1) если bl и b2 суть элементы множества f(A), то, b1• b2 есть также элемент множества f(A);

2) нейтральный элемент группы В есть элемент множества f(A);

3) если b есть элемент множества f(A), тo b-1 есть также элемент множества f(A).

Докажем последовательно утверждения 1), 2), 3).

1) Пусть b1 и b2 суть два элемента множества f(A). Это значит, что существуют такие элементы а1, и а2 группы А, что

f(al) = b1, f(a2) = b2.

Но в силу гомоморфности отображения f имеем:

f(а1 • а2) = b1 • b2.

Следовательно, b1 • b2 как образ при отображении f элемента а1 • а2 группы А есть элемент множества f(A). Первый пункт, таким образом, доказан.

2) Пусть 1 — нейтральный, а а — какой-нибудь элемент группы А. Имеем (в группе А)

а• 1 =а,

откуда (в группе В) получаем

f(a• 1) = f(a),

и в силу гомоморфностиі отображения f левую часть последнего равенства можно переписать в виде

f (a) • f(1) = f(a);

отсюда видно, что f(1) есть нейтральный элемент группы В. Этим доказан второй пункт.

3) Пусть b — произвольный элемент множества f(A)B. Существует такой элемент а группы А, что

f(a)= b.

Обозначим через b' элемент f (а-1) множества f(A). Докажем, что

b' = b-1.

В самом деле,

а• а-1=1.

Следовательно,

f (a) •f(а-1) = l

(1 справа означает нейтральный элемент группы В), т. е.

b• b' = 1,

и следовательно,

b' = b-1

что и требовалось доказать.

Итак, всякое гомоморфное отображение группы А в группу В есть гомоморфное отображение группы А на некоторую подгруппу группы В.

Замечание 1. В только что проделанных рассуждениях содержится доказательство следующих важных утверждений, справедливых для всякого гомоморфного отображение группы А в группу В:

f(1) = 1 (2.33)

(где слева 1 есть нейтральный элемент группы А, а справа - нейтральный элемент группы В),

f(a-1) = f(a)-1. (2.34)

Замечание 2. На основании примечания в п. 2.4.1 мы можем сказать:

Взаимно однозначное гомоморфное отображение группы А на группу В есть изоморфное отображение.

Определение. Пусть f есть гомоморфное отображение группы А в группу В. Множество всех элементов х группы А, отображающихся в силу f на нейтральный элемент группы В, называется ядром гомоморфного отображения f и обозначается через f-1(1).

Теорема. Ядро гомоморфного отображения f группы А в группу В есть инвариантная подгруппа группы А.

Доказательство. Из определения гомоморфного отображения непосредственно следует, что, если

f(a1) =1, f(a2) = l, то f(а1• а2) = 1,

т. е. если а1 и а2 суть элементы f-1(1), то и а1• а2 есть элемент f-1(1).

Далеше, мы видели при доказательстве предыдущей теоремы, что f(1) есть нейтральный элемент группы В, т. е. 1 есть элемент f-1(1).

Наконец, если f(a)=1, то f(а-1)=f(а)-1=1, т. е. если а есть элемент f-1(1), то а-1 есть также элемент f-1(l). Отсюда уже следует, что f-1(1) есть подгруппа группы А.

Чтобы доказать, что f-1(1) есть инвариантная подгруппа группы А, надо убедиться в том, что трансформация а-1ха произвольного элемента х группы f-1(1) при помощи любого элемента а группы А есть элемент группы f-1(1). Другими словами, надо убедиться в том, что

f(a-1xa)=1,

если только f(x)=1. Но это почти очевидно, так как при f(х)=1 имеем

f (a-1xa) = f (a)-1• f (х)• f (a) = f(a)-1• 1• f (a) = f (a)-1• f (a) = l.

Итак, наша теорема полностью доказана.

В дальнейшем мы увидим, что и обратно, всякая инвариантная подгруппа группы А есть ядро некоторого гомоморфного отображения группы А.

2.7.2. Примеры гомоморфних отображений

1. Рассмотрим группу G всех целых чисел

.... -п, —(п-1), …... —2. —1, 0,1, 2,..., (п-1), п, ...

и группу второго порядка G2. Эта группа является абелевой. Пусть ее элементы будут b0, b1, а таблица сложения такая:

b0 + b0 = b0, b0 + b1 = b1 + b0 = b1, b1 + b1 = b0.

Очевидно, что b0 есть нейтральный элемент группы G2.

Установим следующее отображение f группы G на группу G2. Каждому четному числу ставим в соответствие элемент b0 группы G2, каждому нечетному числу ставим в соответствие элемент b1 группы G2.

Это отображение гомоморфно. В самом деле, пусть а и а' - два целых числа. Если a и a' оба четных числа, то а+а' тоже четное, и мы имеем

f(a + а') = f(a)=f(а') = b0 = f(a) + f(а').

Если одно из двух чисел а и а' (пусть а) четное, а другое нечетное, то а+а' нечетное, так что

f(a) = b0, f(а') = b1, f(a + а') = b1 = b0 + b1 = f(a)+ f(а').

Если, наконец, и а и а' нечетные числа, то а+а' четное, и мы имеем:

f(a)=f(а') = bl, f(a+а') = b0 = b1 + b1 = f(a)+f(а').

Ядром нашего гомоморфизма, очевидно, является группа всех четных чисел.

Обобщим этот пример. Пусть данo произвольное натуральное число m≥2. Рассмотрим циклическую группу Gm порядка т с элементами b0, bl, b2, ..., bm-1 и таблицей сложения:

(нейтральный элемент обозначен через b0).

Установим гомоморфное отображение f группы G всех целых чисел на группу Gm.

Для этого напомним прежде всего следующую арифметическую теорему:

Каждое целое число а при делении на натуральное число т дает как остаток одно из чисел 0, 1,... ..., m — 1. При этом остаток числа а определяется как единственное неотрицательное целое число r, удовлетворяющее соотношениям

a=mq + r, 0≤r≤m—1, (2.35)

при целому q (называемом неполным частным при делении а на т).

Теорема эта всем, конечно, известна для случая положительного а. Для а = 0 имеем, очевидно,

0 = m∙ 0 + 0,

т. е. при делении нуля на любое натуральное число и в частном и в остатоке получается нуль.

Случай отрицательного а требует некоторых разъяснений. Если а отрицательно, то -а положительно. Разделим натуральное число -а на натуральное число т, обозначим частное через q' и остаток через r'. Можем предположить, что r' >0 (так как если бы r' = 0, то -а, а следовательно, и а делилось бы на т без остатка). Итак,

—a = mq' + r', 0<r'≤m— 1

или

а = —mq' — r' =— m — mq' + m — r' = m(—1 — q') + (т — r').

Из 0<r'≤m— 1 следует,

0≤ m— r'≤m— 1.

Поэтому, полагая q= —1—q', r = m — r', имеем для целых чисел a, q соотношение

a = mq+r, 0≤r≤m— 1. (2.36)

Легко убедиться в том, что представление целых чисел а в виде уравнений (2.36) при данном целом т и целых q и r, 0≤r≤m— 1 единственно, т. е. что целые числа q и r условиями (2.36) вполне определены.

В самом деле, пусть

a = mql + r1, 0≤r1≤m— 1. (2.37)

Тогда вычтем почленно равенство (2.37) из равенства (2.36). Получим

0 = m(q-q1) + (r-r1)

или

r-r1 = m(q1 -q).

Отсюда следует, что целое число r-r1 делится без остатка на т. Но r-r1 есть разность двух неотрицательных чисел, не превосходящих т — 1; следовательно, абсолютная величина этой разности также не превосходит т— 1; в этих условиях число r-r1 может делиться без остатка на т только в том случае, если оно есть нуль.

Итак,

r-r1= 0, т. е. r = r1

и, заменяя r1 на r в формуле (2.37), получаем

a = mq1 + r. (2.38)

Из равенств (2.38) и (2.36) получаем

т. е. q1 = q, что и требовалось доказать.

Целому числу r в силу неравенства

0≤r1≤m— 1

соответствует элемент br группы Gm. Итак, при зафиксированном натуральном числе m≥2 каждому целому числу а соответствует вполне определенный элемент циклической группы Gm порядка т, а именно: элемент br, где r есть остаток при делении а на т. Этот элемент br называется вычетом числа а по модулю т.