Дискретно-непрерывная математика (стр. 64 )

и

где элементы h′, h*, , определяются соотношениями g = h' и g=h* . Пусть S2 — полугруппа, которая состоит из элементов дизъюнктивного объединения Т V, где Т — подгруппа, V — нулевая подполугруппа, 0 — нулевой элемент из S2. Если (f1, g, f2) T и

(а, g′) V — {0}, то

и

Два элемента из R (соответственно из V) будут H-эквивалентны в S1 (соответственно в S2) тогда и только тогда, когда все их координаты, кроме центральной, т. е. H (соответственно G), согласуются. Пусть

φ: S1 →→ S2 определяется следующим образом: на Т отображение φ является тождественным, φ (0) = 0 и φ (а, , h, , b)= (a, h, b). Очевидно, что отображение φ — эпиморфизм, но φ переводит каждый H класс полугруппы S1, на H класс полугруппы S2 тогда и только тогда, когда Н = G.

Отметим, что законы умножения для только что определенных полугрупп S1 и S2 должны быть проверены на ассоциативность. Далее в замечании 14 предлагается общий способ построения новых полугрупп из имеющихся полугрупп, обобщающий построение, которое проведено для S1 и S2.

Мы введем теперь важное множество преобразований полугруппы — переносы.

Oпределение 11. Пусть S — полугруппа, элемент αFR(S) называется правым переносом полугруппы S тогда и только тогда, когда для всех элементов s1, s2 S, (s1s2) α = s1 [(s2) α]. Аналогично элемент βFL (S) называется левым переносом полугрупп S тогда и только тогда, когда для всех элементов sl, s2 S, β (s1s2) = [β (s1)]s2.

Левый перенос α и правый перенос β называются связанными тогда и только тогда, когда для всех элементов s1, s2S существует равенство (s1α) s2 = s1 (βs2).

Легко проверить, что множество правых переносов полугруппы S будет подполугруппой в FR (S); обозначим полугруппу правых переносов как RT (S). По аналогии полугруппа левых переносов будет обозначаться как LT (S).

Замечание 13. Пусть sS. Тогда умножение полугруппы S на элемент s справа определяет правый перенос S. В действительности правое регулярное представление R(S) полугруппы S является подполугруппой в RT(S1). Аналогично L (S) LT (S1).

Если s S, обозначим определяемые им переносы как R (s) RT (S) и L (s) LT (S). Эти переносы связаны.

Аналогично тому, как мы изучали вид локальных гомоморфизмов, попробуем теперь определить вид всех правых и левых переносов регулярной рисовской полугруппы матричного типа с помощью картинки Грин-Риса. Для удобства мы обозначим множество, на котором основывается определение рисовской полугруппы матричного типа М0 (G; А, В; С) как G0 × А0 × В0 (вместо (G × А × В) {0}) и отождествим тройку элементов, в которой есть один или более нулей, с нулем множества (G × А × В) {0}. Умножение остается согласованным с расширениями С : В × А → G0 на С : В0 × А0 → G0, где

С (0, 0) = С (b, 0) = С (0, а) = 0.

Утверждение 13. Пусть М = М0 (G; A, B; C) — регулярная рисовская полугруппа матричного типа.

а) Пусть α RT (М). Тогда существуют функции ψR (α) : B0 → B0 и

δ (α) : B0 →G0, такие, что для всех элементов (g, а, b) М

(g, a, b) α = (gδ (α) (b), a, ψR (α) (b)). (3.7)

Кроме того, ψR (α) (b) = 0 тогда и только тогда, когда δ (α)(b)= 0 и ψ(α)(0)=0. Наоборот, с помощью любых функций с такими свойствами, основываясь на соотношении (3.7), легко определить правый перенос.

б) Пусть β LT (М). Тогда существуют функции ψL(β) : А0→ А0 и

λ(β): А0 → G0, такие, что для всех элементов (g, а, b) М

β (g, а, b) = (λ (β) (a) g, ψL( β) (а), b). (3.8)

Кроме того, ψL(β)(а)=0 тогда и только тогда, когда λ(β)(а)=0 и ψL(β)(0)=0. Наоборот, с помощью любых функций с такими свойствами, основываясь на соотношении (3.8), легко определить левый перенос.

в) RT (М) и LT (М) коммутируют, т. е. для всех т М, α RT (М) и

β LT (М) выполняется равенство (βт) α = β (mα).

г) Пусть α RT (М) и β LT (М). Переносы α и β будут связаны тогда и только тогда, когда для всех аА, bВ выполняется следующее соотношение:

δ (α) (b) C [ψR (α) (b), a] = C[b, ψL (β) (а)] λ (β) (а). (3.9)

Доказательство:

а) Пусть αRT (М), предположим, что (g, a, b) М — ненулевой элемент. Так как М — регулярная подгруппа, существует идемпотент

(g0, а0, b) М, такой, что (g, а, b) (g0, a0, b) = (g, a, b). Рассмотрим действие переноса α на идемпотент. Или (g0, a0, b) α = 0, или

(g'0, а'0, b') ≡(g0, а0, b) α = (g0, а0, b)[(g0, а0, b) α].

Следовательно, а'0 = а0. Теперь

(g, а, b) α = (g, а, b)[(g0, а0, b) α]=

Определим функцию ψR(α) : В0→ В0, полагая

Определим функцию δ(α) : В0→ G0, где

δ(α)( b)=