Дискретно-непрерывная математика (стр. 39 )

3. Сопряженные элементы. Пусть G — какая-нибудь группа.

Лемма 1. Если элемент b есть трансформация элемента а при помощи элемента c, то элемент а есть трансформация элемента b при помощи элемента c-1.

В самом деле, из соотношение

b= с-1асс,

умножая обе части слева на с, а справа на с-1, получаем

сbс-1 = а,

т. е.

а=(с-1)-1bc-1,

что и требовалось доказать.

Определение. Два элемента группы называются сопряженными элементами, если один из них есть трансформация другого.

Лемма 2. Если а сопряжен с b, b сопряжен с d, то а сопряжен с d.

В самом деле, так как а сопряжен с b, то существует такой элемент с, что

b = с-1ас. (2.28)

Так как b сопряжен с d, то существует такой элемент е, что

b = е-1de, (2.29)

так что c-1ac=e-1de. Умножая обе части последнего равенства слева на c, а справа на c-1, получим

а = (се-1)d(ec-1) = (ec-1)-1d(ec-1),

т. е. а есть трансформация элемента d с помощью элемента ec-1, что и требовалось доказать.

Лемма 3. Каждый элемент сопряжен самому себе.

В самом деле, совсем очевидно, что

а=1-1∙ 1.

Содержание лемм 1 - 3 заключается в том, что сопряженность двух элементов группы обладает свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности. Отсюда на основании теоремы 3 п. 1, п. 1.4 следует

Теорема 1. Всякая группа G распадается на классы попарно сопряженных между собой элементов.

При этом класс какого-нибудь элемента а группы G состоит из всех сопряженных с а элементов группы G, т. е. трансформаций элемента а при помощи всевозможных элементов группы G.

Заметим, что класс нейтрального элемента всякой группы G состоит из одного этого элемента (так как при любому а имеем а-1∙ 1∙ а=1).

4. Трансформация подгруппы. Класс сопряженных элементов, к которому принадлежит данный элемент а группы G, состоит из трансформаций элемента а при помощи всевозможных элементов b группы G. Теперь возьмем какую-нибудь подгруппу Н группы G и будем рассматривать трансформацию всевозможных элементов х этой подгруппы при помощи одного и того же произвольно выбранного элемента b группы G. Полученное множество элементов, т. е. совокупность всех элементов вида

b-lxb,

где b - избранный нами определенный элемент группы G, а х пробегает множество всех элементов подгруппы Н, называется трансформацией подгруппы Н при помощи элемента b и обозначается через

b-1Hb.

Докажем, что b-1Hb есть группа.

В самом деле: 1. Пусть имеем два элемента с1 и c2, принадлежащие к b-1Hb. Докажем, что с1с2 принадлежит к b-1Hb. Имеем:

(2.30)

где х1 и x2 суть элементы группы H.

Из уравнений (2.30) следует непосредственно:

c1c2 = b-1х1х2b; (2.31)

итак, с1с2 есть трансформация элемента х1х2 при помощи b, а потому с1с2 принадлежит к b-1Hb.

2. Докажем, что нейтральный элемент 1 группы G принадлежит к

b-1Hb. Так как 1 принадлежит к Н, и так как

b-1∙ 1∙ b=1,

тo 1 принадлежит и к b-1Hb.

3. Наконец, если а принадлежит к b-1Hb, тo и а-1 принадлежит b-1Hb. В самом деле, если а принадлежит к b-1Hb, тo a=b-1хb, где х есть некоторый элемент H. Но тогда элемент а-1= (b-1хb)-1=b-1х-1b, т. е. а-1 есть трансформация элемента х-1 группы H при помощи b, следовательно, а-1 есть элемент множества b-1Hb.

Итак, b-1Hb есть группа.

Каждому элементу х группы Н соответствует вполне определенный элемент группы b-1Hb, а именно элемент b-1xb группы b-1Hb. При этом двум разным элементам х1 и х2 соответствуют различные элементы b-1x1b и b-1x2b, так как если х1 и х2 различны, то различны и элементы x1b и x2b (в свмом деле, если х1b=х2b= c, то x1=cb-1 и x2 = cb-1); а если различны элементы х1b и х2b, тo различны и элементы b-1x1b и b-1x2b (так, если b-1x1b = b-1x2b = c, тo x1b = bc и х2b = bс).

Итак, поставив в соответствие элементу х группы H элемент b-1xb группы b-1Hb, мы получаем взаимно однозначное соответствие между H и b-1Hb. В силу равенств (2.30) и (2.31) произведению двух элементов х1 и x2 соответствует при этом произведение элементов b-1x1b и b-1x2b, т. е. наше соответствие есть изоморфное соответствие между группами Н и b-1Hb. Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 2. Трансформация подгруппы H группы G при помощи элемента b группы G есть подгруппа группы G, изоморфная группе H.

Замечание. Непосредственно вытекают из определений следующие предложения:

1) Если G — коммутативная группа, а Н - ее подгруппа, то трансформация подгруппы Н при помощи любого элемента b группы G есть сама группа Н (ведь в этом случае трансформация любого элемента х при помощи b есть сам этот элемент х: b-1xb = x).

2) Если G — любая группа, Н - ее подгруппа, b — элемент Н, то

b-1Hb = Н,

так как для всякого элемента х группы Н при b, принадлежащем Н, принадлежит Н и элемент b-1xb.

3) Если подгруппа Н2 есть трансформация подгруппы Н1 при посредстве элемента b, то Н1 есть трансформация подгруппы Н2 при посредстве элемента b-1.

Доказательство непосредственно следует из леммы 1, п. 3.

Определение. Две подгруппы группы G, из которых одна является трансформацией другой, называются сопряженными подгруппами.

Так как 1-1∙ Н ∙1= Н, то каждая группа сопряжена с самой собой.

Из леммы 2 п. 4 следует, что две подгруппы, которые сопряжены третьей, сопряжены между собой, так что множество всех подгрупп группы G распадается на классы сопряженых между собой подгрупп.

Мы уже знаем (теорема 2 этого пункта), что все сопряженные между собой подгруппы изоморфны между собой.

5. Примеры. В группе поворотов правильного тетраэдра есть, как мы видели, следующие подгруппы:

1. Две несобственные подгруппы: первая, состоящая из одного нейтрального элемента, и вторая, состоящая из всех двенадцати поворотов тетраэдра. Каждая из этих подгрупп, очевидно, сапряжена с самой собой.

2. Три подгруппы второго порядка: Н01, Н02, Н03, каждая из которых состоит из поворотов на углы 0 и π вокруг некоторой реберной медианы. Все эти группы образуют один класс сопряженных подгрупп.

3. Группа Н четвертого порядка (клейновская), являющаяся объединением (в смысле теории множеств) трех групп Н01, Н02, Н03 (т. е. состоящая из тождественного поворота и из поворотов на угол π вокруг каждой с трех реберных медиан). Из определения группы Н как объединения групп Н 01, Н 02, Н03 и из того, что группы Н 01, Н 02, Н03 образуют один класс сопряженных подгрупп, следует, что группа Н сопряжена лишь с самой собой.

4. Четыре подгруппы третьего порядка: Н0, Н1, Н2, Н3; каждая из них состоит из поворотов на углы 0, 2π/3, 4π/3 вокруг некоторой граневой медианы. Все эти группы также образуют один класс сопряженных подгрупп.

Итак, все 10 подгрупп группы поворотов правильного тетраэдра следующим образом распадаются на классы сопряженных подгрупп:

три класса, состоящие каждый из одного элемента:

классы, содержащие лишь по одной несобственной подгруппе, и

класс, состоящий из одной подгруппы Н четвертого порядка;

класс, состоящий из трех подгрупп второго порядка;

класс, состоящий из четырех подгрупп третьего порядка.

2.6.2. Инвариантные подгруппы (нормальные делители)

1. Определение. Если подгруппа Н данной группы G не имеет никакой отличной от себя, сопряженной подгруппы (т. е. если класс всех подгрупп, сопряженных в группе G подгруппе Н, состоит лишь из одной группы Н), то подгруппа Н называется инвариантной подгруппой (или нормальным делителем) группы G.

Укажем, что инвариантная - в переводе с латинского «неизменяемая» (относительно операции трансформирования подгруппы).

В данное время в математической литературе вместо термина инвариантная все большее распространение получает термин нормальная подгруппа. По нашему мнению, этот термин совершенно не отражает основного свойства рассматриваемых подгрупп: инвариантости по отношению операции трансформирования подгрупп.

Очевидно, определение инвариантной подгруппы можно сформулировать и так:

подгруппа Н группы G называется инвариантной, если трансформация любого элемента группы Н с помощью любого элемента группы G есть элемент группы Н.

Понятие инвариантной подгруппы - одно из важнейших понятий всей алгебры: если и невозможно в этом кратком изложении довести читателя до полного понимания всей важности этого понятия, раскрывающегося в алгебре, особенно в так называемой теории Галуа, то можно все-таки надеяться, что из рассужлений этого и следующего разделов читатель поймет, насколько большое значение инвариантных подгрупп в логическом построении самой теории групп.

2. Примеры. Тривиальными примерами инвариантных подгрупп являются обе несобственные подгруппы любой группы. Кроме того, любая подгруппа коммутативной группы является, очевидно, инвариантной.