Дискретно-непрерывная математика (стр. 62 )

Легко проверить, что θ' = С′2φС′1-1 удовлетворяет соотношениям (3.3) и (3.4). Обратное утверждение очевидно.

Замечание 11. Из упрощения, полученного в пункте в) предыдущего предложения, следует, что H классы, которые принадлежат J1, должны отображаться на H классы, которые принадлежат J2, всякий раз, когда класс J2 регулярный и класс J1 — единственный минимальный член для φ-1 (J2). Тем самым дополнен пункт г) утверждения 11.

Было бы очень хорошо, если бы такое же утверждение удалось получить для частичных гомоморфизмов регулярных F классов. Доказательство пункта в) не переносится на частичные гомоморфизмы, поскольку не удается воспользоваться соотношением (3.5). Если бы упрощение было возможно, из него бы следовало, что два различных H класса из J1, которые отображаются в один и тот же H класс из J 2, должны иметь одинаковые образы. Следующий пример показывает, что это может не выполняться.

Пусть Z2 = {1, —1} — мультипликативная группа второго порядка. Пусть J1 = М0 (Z1; {1, 2}, {1, 2}; )— {0}.

Определим ω: Z2 → Z2, полагая ω(z) = 1 для всех x Z2. Определим ψL, ψR,, λ, δ следующим образом:

Теперь Р (1, 1) = Р (2, 2) = 1 и Р (1, 2) = Р (2, 1) = 0.

Определим

и

Тогда пункт б) предложения 1 утверждает, что соотношение

определяет частичный гомоморфизм класса J1 на M0(Z2;{1,2},{1}:Q)-{0}. Теперь φ (H 11) и φ (H 12) , но φ (H 11) = {(-1, 1, 1)} и

φ (H 12) = {(1, 1, 1)}. Следовательно, φ(Н11)≠φ(H12). Таким образом, частичные гомоморфизмы нельзя в общем случае свести к виду, определяемлму соотношением (3.3).

Далее мы вводим важный объект, группу Щютценберже, которая позволит нам (помимо всего прочего) распространить идею координатного отображения на нулевые F классы и, следовательно, на все F классы. Тогда мы получим описание гомоморфних образов нулевых F классов в форме, аналогичной предложению 1.

Пусть H представляет собой H класс полугруппы S. Тогда мы сделаем следующее:

1) сопоставим классу H группу G (H), называемую группой Щютценберже класса H;

2) G (H) зависит в действительности только от F класса, которому принадлежит H;

3) если H — группа, тo H G (H).

Oпределение 9. Пусть S — полугруппа, а X и Т — непустые подмножества моноида S1. Тогда правый идеализатор, левый идеализатор и идеализатор множества X в Т определяются соответственно как

Мы будем писать RI (X), LI (X) и I (X), если Т = S. Множества RI (X),LI (X) и I(X) есть подполугруппы полугруппы S.

Определим гомоморфизмы МRХ:RI(X)→FR(X) и МLХ : LI(X)→FL(X), переводящие t в (x→xt) и в (x→tx) соответственно.

Предложение 2 (Щютценберже). Пусть H представляет собой H класс полугруппы S.

а) Множество МRН [RI (H)] = Р является регулярной транзитивной группой подстановок множества H [т. е. для всех элементов h, h' H существует единственный элемент π Р, такой, что (h)π=h']. Дуальный результат: МLН [LI (H)] = Р' есть регулярная транзитивная группа подстановок множества H. Элементы из Р и Р' коммутируют, т. е. если π Р, π' Р', h H, то (π'h)π=π'(hπ). Кроме того, если h0 — фиксированный элемент множества H, то отображение π→π' определяет изоморфизм между Р и Р'. Здесь π' — единственный элемент множества Р', такой, что (h0) π = π'(h0).

б) Мы можем определить на множестве H строение группы следующим образом. Выберем фиксированную базисную точку h0 H и для элементов h1, h2 H пусть π1, π2 — такие единственные элементы из Р, что (h0) π1 = h1 и (h0) π1 =h2. Положим h1*h2=(h0)π1π 2. Тогда (H, *) будет группой, которая не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора элемента (h0). Множество Р как подгруппа полугруппы FR(H) будет изоморфна правому регулярному представлению группы (H, *).

в) Можно определить групповую структуру (H, ) на H двойственным образом, используя Р'. Тогда Р' как подгруппа полугруппы FL(H) будет изоморфна левому регулярному представлению (H, ).

г) Если H — группа (в полугруппе), тo H (H, *) (H, ), где базисная точка выбирается как единица в H.

д) Обозначим абстрактную группу (H, *) Р Р' (H, ) как

G (H) и назовем ее группой Щютценберже класса H. Если H и H ' — два H класса, которые принадлежат одному F классу J, то G(H) G(H'). Следовательно, мы также обозначаем эту группу как G(J).

Доказательство. а) Множество Р есть подполугруппа в F'(H), так как Р емть образ относительно гомоморфизма полугруппы RI(H). Из пункта д) утверждения 5 следует, что каждый элемент из Р является подстановкой класса H, поэтому Р SYMR(H) и, следовательно, согласно пункту б) утверждения 10 из микромодуля 7 является подгруппой. То, что Р транзитивна, следует из определения отношения H. Перейдем к доказательству единичности. Предположим, что для некоторого элемента h H hπ1 = hπ2. Пусть h' — произвольный элемент из H. Тогда существует элемент sS1, такой, что h'=sh. Следовательно, h'π1 = shπ1 = shπ2 = h'π2, поэтому π1 = π2.

К множеству МLH[LI(H)]=Р' применяются двойственные (дуальные) рассуждения. Для того чтобы показать, что Р и Р' коммутируют, предположим, что π Р и π' Р'. Пусть s RI (H), s' (H), такие, что МRH (s)=π и МLH π(s')=π' соответственно. Тогда в силу ассоциативности полугруппового умножения получаем

(π' h) π = (s' h) s = s' (hs) = π' (hπ).

Наконец, отображение π→ π' является взаимно однозначным и эпиморфным. Пусть π1, π2 Г. Тогда

(π1π2)'h0 = h0 (π1π2) = (h0 π1) π2 = (π′1 h0) π2 = π′1 (h0π2) = (π′1 π′2) h0.

Следовательно, отображение является изоморфизмом.

Пункты б)-г) оставляем читателю как упражнения.

д) Предположим, что аLb. Тогда RI(На)=RI(Нь). Определим отображение ψ : G (На) →→ G(Нъ), полагая ψ(π) = ( ), где есть представитель из (π) RI(Hа). Легко проверить, что отображение ψ — изоморфизм, поэтому G(Ha) G(Hь). Дуальное соотношение — bRс, тогда G(Hь) G(Hс). Следовательно, если аFс, тo G(Ha) G(Hс). Доказательство закончено.