Дискретно-непрерывная математика (стр. 121 )

называются экспоненциальными нечеткими целыми числами, — экспоненциальной нечеткой единицей, — экспоненциальной нечеткой двойкой и т. д.

Таблица 3.1

(3.40)

Операция композиции, определенная соотношением (3.39), ассоциативна и коммутативна; следовательно, множество нечетких подмножеств

, , ,…,,…...

образует ассоциативный и коммутативный группоид.

Кроме того, этот группоид имеет единицу, которую обозначим и которая определяется функцией принадлежности

где δ(х) — функция Дирака, для которой

Действительно, для имеем

Будем считать, что построенное множество нечетких подмножеств пополнено .

Моноид

, , , ,…,,…...

изоморфен моноиду натуральных чисел

0, 1, 2, ..., п, ...

Относительно (3.40) заметим также, что абсциссы максимумов каждого из экспоненциальных нечетких целых чисел следуют друг за другом с интервалом, равным 1/λ.

Геометрические нечеткие целые числа. Рассмотрим универсальное множество

Е = N

и нечеткое подмножество , такое, что

Затем определим следующим образом:

Теперь определим :

Аналогично в общем случае получаем

Абсциссы максимумов — это х = r, r+1, ... (табл. 3.2).

Таблица 3.2

(3.42)

Отметим, что максимум может достигаться не только на одной точке, а точка х максимума не обязательно равна п — все зависит от значения параметра а.

Нечеткие подмножества

, , ,…,,…(3...41)

называются геометрическими нечеткими целыми числами.

называется геометрической единицей (1) и т. д.

Множество нечетких подмножеств (3.41) также образуют коммутативный моноид. Это моноид с единицей, которую мы обозначим , и для нее

(х)=1, х=0,

= 0, х= 1,2,3,...

Можно проверить справедливость соотношения

Между , , , ,…,,…и множеством N натуральных чисел

также существует изоморфизм.

Относительно выражения (3.42) заметим, что абсциссы максимумов всех этих геометрических нечетких целых чисел следуют друн за лругом с интервалом, который зависит от а.

С помощью подобных процедур можно определить другие нечеткие натуральные числа, которые рассматриваются в вероятностных законах, например, в биномиальных законах, законах Пуассона, отрицательных биномиальных или прямоугольных распределениях, нормальных, эйлерових (гамма) распределениях и т. д.

Здесь мы ограничимся гауссовыми натуральными числами (нормальный закон).

Гауссовы нечеткие целые числа. Рассмотрим универсальное множество

Е = R

и нечеткое подмножество , такое, что

Определим

и, продолжая этот процесс выписывания для , ,…,получим

Тогда можно составить табл. 3.3.

Нечеткие подмножества

, , ,…,,…

называются гауссовыми нечеткими целыми числами.

В действительности мы здесь также имеем дело с коммутативным моноидом с единицей , которая определена условием

где δ(х) - симметричная функция Дирака, т. е. такая функция, что

Таким образом, мы опять имеем изоморфизм из N, но на этот раз абсциссы максимумов (х) соответственно равны значениям рассмотренного целого числа r.

Таблица 3.3

Гауссовы нечеткие целые числа имеют следующее важное свойство: зависимость абсциссы максимума, которая является также средним значением от дисперсии, постоянна:

(Средним заначенням случайной величины ξr с плотностью распределения, равной ).

Таким образом, чем большее нечеткое число (т. е. чем больше r), тем большая его дисперсия, т. е. больше его нечеткость, но что касается r, то относительная нечеткость постоянна.

Микромодуль 13.

Идивидуальные тестовые задачи

1. Составьте таблицу, которая представляет собой нечеткий группоид, такой, что

2. Нечеткий группоид определен таблицей

задающей операцию * относительно

Е= {А, В} и М= {0, 1}.

В таблице {(A|α), (B|β)} записано как (α, β).

1. Ассоциативный ли этот группоид?

2. Имеет ли он единицу?

3. Если ответ положительный, т. е. группоид есть моноид, то каковы его подмоноиды?

4. Для каждой ли упорядоченной пары (α, β) существует обратная ей, и если ответ положительный, т. е. группоид есть группа, то каковы ее подгруппы?

3. Таблица

определяет групповую операцию *. Выразите эту операцию * только с помощью символов (пересечение), (объединение) и

‾ (дополнение). В таблице пара {(A|α), (B|β)} представлена как (α, β).

Для этой операции * опишите группу, которая соответстует семейству множеств

Е = {А, В, С}

(вместо Е = {А, В}).

4. Заданы нечеткие группоиды ( (Е), *), где М = [0, 1] - функция принадлежности универсального множества Е:

где операция такая, что а b = а + b — а·b. Какие из этих нечетких группоидов а) коммутативные, б) ассоциативные, в) обладают единицей, и если она существует, то определите ее; г) какие из них таковы, что каждое нечеткое подмножество имеет себе обратное?

5. Определите следующие законы внешней композиции, где

и составьте таблицы этих законов

Список литературы

1. Горбатов дискретной математики. – М.: Высшая школа, 1986.

2. Коршунов основы кибернетики. – М.:Энергия, 1980.

3. , Адельсон-Вельский математика для инженера. – М.:Энергия, 1980.

4. Компьютерная математика.– М.: Наука, 1990.

5. Сигорский аппарат инженера.-К.: Техніка, 1977.

6. Кузичев Венна.– М.: Наука, 1968.

7. Кононюк математика. У 2 ч. Ч.1, - К:Кольори, 2007.

8. , и др. Нечеткие множества в моделях управления и икусственного интелекта.– М.: Наука, 1986.

9. Введение в теорию нечетких множеств.– М.: Радио и связь, 1982.

10. Введение в прикладную комбинаторику.– М.: Наука, 1975.

11. Згуровский системы оптимального управления и проектирования.- К.: Вища школа, 1990.

13. Фреймы для представления знаний. – М.:Энергия, 1979.

14. Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем.– М.: Наука, 1978.

15. , /Прикладная геометрия, вып. 8, N 18 (2006), стр. 9-36.

16. , , . Элементы комбинаторики.-М.: Наука, 1977.

17. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп. Под ред.

. – М.: Статистика, 1975.

18. Перманенты. М.: Мир, 1982.

19. Холл. М. М.: Мир, 1970.

20. Борисов обучающиеся алгоритмы диагностики систем с размытыми классами состояний. — Техническая кибернетика. — Рига, 1970.

21. , Алексеев алгоритмы в ситуационных мо­делях управления организационными системами. — В кн.: Методика построения систем ситуационного управления /Науч. совет АН СССР по комплексной про­блеме «Кибернетика». — М., 1978, с. 3—10.

22. , Аппен возможных характеристик при анализе альтернатив. — В кн.: Методы принятия решений в условиях неопределен­ности. — Рига: РПИ, 1980, с. 94—100.

23. , Голендер разделение размытых обра­зов — Методы и средства технической кибернетики. — Рига: РПИ, 1969, вып. 5, с. 32—38.

24. , Корнеева подход к построению моделей принятия решений в условиях неопределенности. — В кн.: Методы при­нятия решений в условиях неопределенности. — Рига: РПИ, 1980, с. 4—12.

24. , Крумберг решений при выборе техноло­гических объектов. — Там же, с. 127—134.

Научно-практическое издание

Дискретная математика

Книга 4

Алгебры

Часть 1

Авторская редакция

Подписано в печать 21.01.2011 г.

Формат 60x84/16.

Усл. печ. л. 16,5. Тираж 300 экз.

Издатель и изготовитель:

Издательство «Освита Украины»

04214, г. Киев, , к. 40

Свидетельство о внесении в Государственный реестр

издателей ДК № 000 от 01.01.2001 г.

Тел./; 237-5992

E-mail: *****@***net, www. rambook. ru

Издательство «Освита Украины» приглашает

авторов к сотрудничеству по выпуску изданий,

касающихся вопросов управления, модернизации,

инновационных процессов, технологий, методических

и методологических аспектов образования

и учебного процесса в высших учебных заведениях.

Предоставляем все виды издательских

и полиграфических услуг.