Дискретно-непрерывная математика (стр. 14 )

Различие между композиционной и линейной интерполяцией можно проиллюстрировать на примере интерполяции четкой функции. К такой интерполяции в принципе возможны два подхода. Первый заключается в том, что если значение аргумента не содержится в таблице, определяющей функцию, то значение функции считается неопределенным. Второй подход соответствует какой-нибудь из схем интерполяции (линейной, квадратичной и т. д.); здесь привлекается дополнительная информация (линейность функции на отрезке, монотонность функции и т. п.), которая явным образом в исходных данных не содержится. Интерполяция нечеткой функции по композиционному правилу вывода отвечает первому подходу, а интерполяция по (1.53) - второму подходу.

При оценке первого подхода к интерполяции следует иметь в виду его отрицательное качество: для всех пар (Xi, Yі), участвовавших в формировании отношения Т, Yі≠Х1○Т. Кроме того, если (i)Xi X= , то X○Т= , что как раз и соответствует первому подходу к интерполяции.

1.9.3. Интегрирование нечетких функций.

Рассмотрим интегрирование функции φ:R1→ для двух случаев: с четкими пределами интегрирования и с пределами интегрирования, заданными нечеткими числами.

Пусть a, b R1, a<b — пределы интегрирования; Х=[а, b];

- носитель φ(х); у1 y1 R1. Нечеткое число φ(х) можно представить и в следующем виде:

где

z — однозначная непрерывная функция}, a μz= μx.(z(x)). Тогда

по принципу обобщения искомый интеграл можно определить следующим оьразом:

(1.54)

Из (1.54) следует, что Іφ — нечеткое число. Его физический смысл тот же, что и в четком случае: Іφ - это площадь под графиком интегрируемой функции с учетом знака последней. Пусть S1 — носитель Іφ. Из (1.54) следует, что

Пусть теперь пределы интегрирования и

— нечеткие числа, SA и SB — их носители. Пусть также z : X→R1 — непрерывная функция. Определим интеграл от нее при нечетких пределах интегрирования следующим образом:

(1.55)

Тогда интеграл от функции φ в пределах от А до В с учетом (1.54) и (1.55) можно определить выражением

(1.56)

Приблизительно интеграл (1.54) можно вычислить по известным формулам прямоугольников или трапеций. При этом арифметические операции в них будут выполняться с нечеткими числами по соответствующим правилам. Значения функции φ в требуемых точках можно вычислить по интерполяционной формуле (1.52). Интеграл (1.56) приблизительно можно вычислить путем дискретизации множеств SA и Sb, используя далее интеграл (1.54). Детальное изложение проблем интегрирования нечетких функций приводится в ряде работ, где получены определения, аналогичные (1.54) — (1.56). Рассмотрен ряд свойств нечетких функций и интегралов от нечетких функций в нечетких пределах. Получены выражения для вычисления интегралов от L—R нечетких функций, определенных на основе L—R нечетких чисел. Введено понятия производной от нечеткой функции и ее первообразной. Показано, что между интегралом от нечеткой функции и ее первообразной существует связь, аналогичная той, которая имеется для четких функций. Получены выражения для вычисления производных от L—R нечетких функций.

1.10. Сравнение нечетких чисел

1.10.1. Связь четких и нечетких значений лингвистических переменных.

Рассмотрим следующий пример.

Система управления запасами сформировала решение: «Закупить небольшое количество деталей». Нечеткое понятие («небольшое количество» задано дискретным нечетким числом

<«НЕБОЛЬШОЕ КОЛИЧЕСТВО», , C+>,

где

C+ = {0/1;...; 0/10; 0,1/11; 0,15/12; 0,2/13; 0,25/14;

0,3/15; 0,4/16; 0,5/17; 0,6/18; 0,7/19; 0,8/20;

0,9/21; 1,0/22;...; 1,0/30; 0,9/29; 0,8/30;

0,7/31; 0,6/32; 0,4/33; 0,2/34; 0/35; 0/36;...}.

Поскольку закупить можно лишь четкое целое число деталей, необходимо произвести выбор четкого значения лингвистической переменной КОЛИЧЕСТВО ДЕТАЛЕЙ при наличии ее нечеткого значения НЕБОЛЬШОЕ. Очевидно, что аналогичных ситуаций в реальных задачах принятия решений довольно много.

Формализацию подобной ситуации назовем задачей о выборе. Пусть дано некоторое понятие естественного языка ε и формализующая его нечеткая переменная <ε, X, Сε >, где Сε = .

Построить процедуру выбора конкретного элемента хХ по исходным данным ε, X, Сε.

Приведем точную формулировку тезиса о выборе, исходя из которой будем решать поставленную задачу.

Пусть данная нечеткая переменная < ε, X, Сε >, формализующая некоторое понятие ε. Вероятность выбора лицом, принимающим решение, элемента хХ, пропорциональна значению функции принадлежности με(х) нечеткого множества Сε. Выбор в каждом конкретном случае определяется разыгрыванием соответствующей случайной величины.

Пусть ε — нечеткое число. На основе тезиса о выборе построим законы распределения случайной величины, порождаемой непрерывным нечетким числом < ε, X, Сε >.

Пусть Sε-носитель нечеткого множества Сε, |Sε | =|R1|, х, у R1. Введем обозначения

Построим две функции: vε(х) — плотности вероятности и ωε(х) — вероятности того, что в качестве точного значения нечеткого числа ε ЛПР выберет величину у<х. По определению

(1.57)

(1.58)

Исходя из тезиса о выборе определим функцию плотности вероятности

(1.59)

где k — нормирующий множитель, обеспечивающий выполнение равенства (1.57); f(x, Сε) - функция, которая описывает ограничения выбора. Из (1.57) и (1.59) находим

(1.60)

В частности, в качестве f(x, Сε ) может быть выбрана функция плотности вероятности предъявления элемента х лицу, принимающему решения. При отсутствии данных принимается, что (x)f(x, Сε)= const. Тогда из (1.59) и (1.60) получаем

(1.61)

Для любого х значение функции ωε(х) можно вычислить исходя из (1.58) и (1.59) или (1.61).

Таким образом, задача о выбор решена.

Для решения задачи о выборе в литературе предложены и другие процедуры, например:

1) каждый раз выбирать

(1.62)

2) всегда выбирать такой элемент х0 Х, который делит площадь под графиком функции принадлежности пополам:

(1.63)

Однако процедуры (1.62) - (1.63) не учитывают деталей формы функции принадлежности, а используют имеющуюся информацию лишь «в целом».

1.10.2. Отношения порядка на множестве нечетких чисел.

Рассмотрим два нечетких числа: <А, R1, СА> и <В, R1, CB>, в которых пересечение носителей SA SB≠ (рис. 1.11).

Рис. 1.11. К отношению нечеткого порядка на множестве нечетких чисел

Из анализа задачи о выборе ясно, что в разных реализациях выбора четкого значения нечеткого числа соотношения между четкими значениями нечетких чисел (а значит, и между именами нечетких чисел) может быть различным. Пусть в первой реализации четкие значения нечетких чисел А и В оказались равными соответственно а1 и b1, а во второй реализации — а2 и b2. Из рис. 1.11 видно, что в первой ситуации А<В (так как a1<b1), а во второй ситуации А>В (поскольку а2>b2).