Дискретно-непрерывная математика (стр. 75 )

Пусть теперь θ1: S →→S/≡ будет каноническим эпиморфизмом. θ1 есть H эпиморфизм, который не является взаимно однозначным. Кроме того, равенство θ1(s1) = θ1(s2) влечет соотношение s1 ≡s2 (mod θ). Поэтому так же, как и в доказательстве леммы 1.18, поскольку θ есть МРЕ, получаем равенство отношений ≡ и (mod θ). Тогда θ есть H эпиморфизм. Это доказывает теорему 1.16, а следовательно, и теоре­му 1.14.

1.19. Замечание. Предшествующая классификация МРЕ исключи­тельно полезна для доказательства (и открытия) утверждений, справед­ливых для конечных полугрупп, методом рассмотрения «минималь­ного контрпримера» (т. е. по индукции).

По индукции утверждение будет справедливо для каждого обра­за МРЕ, поэтому необходимо только «протащить утверждение через МРЕ» при помощи классифицирующей теоремы (опровергая, таким образом, существование контрпримера).

3.7. Полулокальная теория

В этом пункте произвольная конечная полугруппа разлагается в подпрямые произведения полугрупп, обладающих некоторыми важными свойствами; предлагаются методы построения гомоморфиз­мов полугрупп посредством действия на идеалы или F классы умно­жением слева или справа. Это дает переход к гомоморфным образам в терминах левых или правых переносов.

2.1. Определение. Пусть S, Т1, ..., Тп — полугруппы. S называ­ется подпрямым произведением полугрупп Т1, ..., Тп (обозначается

если S есть (с точностью до изоморфизма)

подполугруппа в Т1 × ... × Тп, такая, что pі (S) = Ті, где рі — отображение проекции на Tі, i = 1, ..., п.

2.2. Обозначения. Пусть—эпиморфизм для i = 1, ..., п. Тогда отображение

определяется с помощью соотношения

Пусть (п раз) — мономорфизм, определяе-

мый как ∆ (s) = (s, ..., s). Пусть φі : S →→Ті — эпиморфизм для i = 1, ..., п. Тогда отображение есть го-

моморфизм, определяемый как

Отметим, что Тогда S будет подпрямым произведением полугрупп Т1, ..., Тп, если отображение П φі взаимно однозначное. Следовательно, можно разложить полугруппу S в подпрямое произведение, найдя совокупность гомоморфизмов { φі } на S, таких, что отображения П φі взаимно однозначны.

Следующий факт позволяет получить критерий для нахождения такой совокупности гомоморфизмов на S с помощью F классов полу­группы. Мы напомним определение идеала F (J) F класса J полугруп­пы 5 и определение идеала В (J):

2.3. Утверждение. Пусть J1, ..., Jn— набор F классов полугруп­пы S, а { φі : i = 1, ..., п) — гомоморфизмы на S, удовлетворяющие условиям:

1) отображения фг взаимно однозначные и ненулевые на Jі;

2) φі [F(Ji)] =0, i= 1, ..., п.

Тогда отображения П φі взаимно однозначные и, следовательно,

Доказательство. Мы покажем, что отображение Пφі взаимно од­нозначное. Пусть sі Ji, sj J j и предположим, что sі ≠ sj. Если i = j, то φі (sі) ≠φі (sj), так как φі является однозначным на Jі. Следовательно, Пφі (sі) ≠ Пφі (sj). Если i ≠ j, то или Ji (Jj), или Jj (Jі) (возможно, оба включения выполняются одновре­менно). Без ограничения общности можно предположить, что выполня­ется первое включение. Тогда φj (si) = 0 и φj (sj) ≠ 0 и поэтому снова Пφі (sі) ≠ Пφі (sj).

Далее приведено одно из простых следствий утверждения 2.3.

2.4. Следствие.

Доказательство. Результат получается немедленно, поскольку канонические эпиморфизмы

удовлетворяют условиям 1 и 2 из утверждения 2.3. Перейдем теперь к нахождению совокупности гомоморфизмов полугруппы S, которые будут минимальны по отношению к этим условиям.

2.5.Определение. Напомним определения гомоморфизмов и . Гомоморфизм МXR переводит элемент t, такой, что XtX, и отображение (х →xt), а гомоморфизм МXL переводит элемент t, такой, что tXX, в отображение (х→tx). Пусть J будет F классом полугруппы — каноническим эпиморфизмом.

Отметим, что J 0 является единственным 0-минимальным идеалом полу­группы S/F (J). Определим

и

Тогда, например,

Пусть J — нулевой F класс полугруппы S. Определим отображение полагая

Пусть Pj обозначает разбиение, индуцированное на S, отображением ψj. Тогда согласно утверждению 1.7 P (S, Pj) имеет минимальный гомоморфный образ (Nj, S/Qj), где Nj (s1) = Nj (s2) тогда и только тогда, когда для всех — единственный минимальный гомоморфизм на S, взаимно однозначный на J, разделяет J и S —J, а N j (F (J)) = {0}.

2.6. Предложение, а) Пусть J — регулярный F класс полугруп­пы S. Тогда . — единственный минимальный гомо­морфизм полугруппы S, который является взаимно однозначным не­нулевым на J и нулевым на F (J).

б) Пусть J1, ..., Jk — регулярные F классы и

— нулевые F классы полугруппы S. Тогда

в) (Щютценберже—Престон). Пусть S — регулярная полугруппа. Тогда S может быть представлена как подпрямое произведение полу­групп матриц, мономиальных по строкам и по столбцам. В частности, пусть J1, ..., Jn будут F классы полугруппы S и Jі0 Mі0 (Gi; Ai, Bi; Ci), i = 1, .... n . Тогда

где Тi есть подполугруппа в — подполугруппа

вИли эквивалентно:

где Wi есть подполугруппа полугруппы—

подполугруппа полугруппы

Доказательство, а) Пусть Сперва покажем,