Дискретно-непрерывная математика (стр. 86 )

Отождест­вим тогда Следовательно,

б) Утверждение этого пункта, очевидно, следует из определения полугруппы

3.23. Замечание. ПустьТогда если

то полугруппа определяется точно так же (с соответст-

вующими модификациями), как и она будет обладать примерно

теми же свойствами. Справедливость этого вытекает из сохранения α' при ограничении (см. пункт а) утверждения 3.9), из того, что элемент прямого произведения полугрупп будет регулярным тогда и только тогда, когда регулярна каждая компонента, а также из того, что два элемента прямого произведения будут α эквивалентны тогда и только тогда, когда их компоненты α эквивалентны. Этими понятиями мы будем пользоваться далее. Отметим, что и имеют смысл только при наличии полугруппы S и гомоморфиз­ма

Следующее предложение дает важный способ построения

и γ гомоморфизмов.

3.24.Предложение. а) Рассмотрим узловое произведение

где C — простая слева полугруппа (например, группа) и S — моноид. Пусть — естественная проекция, легко видеть, что р1 — гомоморфизм. Тогда р1 будет L гомо­морфизмом.

б) Рассмотрим узловое произведение где С— ком-

бинаторная полугруппа и S — произвольная конечная полугруппа. Тогда отображение

будет гомоморфизмом.

Доказательство. где Y (1)

есть тождественный эндоморфизм полугруппы G. Tак как раз), полугруппа F(X1, G) простая слева, по­скольку это свойство сохраняется при взятии прямого произведения.

Следовательно, утверждение достаточно доказать для

где Y(1) — тождественный эндоморфизм полугруппы G.

Пусть Мы должны показать, что для всех элементов Так как полугруппа G простая слева, s2L t2, поэтому если s2 ≠ t2, то существуют такие элементы что

Тогда

б) Сперва мы покажем, что отображение

будет у гомоморфизмом. Имеем

и поэтому F (Х1, С) — комби­наторная полугруппа. Следовательно, достаточно доказать утвержде­ние для С×YS. Пусть G — подгруппа полугруппы — подгруппа полугруппы S. Известно, что существует подгруппа такая, что G представляет собой расширение G2 при помощи G1. Но G2={1}, так как С — комбинаторная полугруппа, поэтому Следовательно, р1 будет γ гомоморфизмом.

Теперь для того чтобы доказать, что р1 является гомоморфизмом, достаточно показать, что всякий раз, когда справедливо равенство с1 = с2. Пусть H есть H класс, содержащий (с1, s) и (с2, s), и предположим, что — группа Щютценберже (правая) класса H. Тогда действие на Н представляется в треугольной форме. Далее пусть — представитель элемента π в С ×YS. Тогда для (с, s) Н имеем

Таким образом, легко видеть, что поэтому

Но С1 — комбинаторная полугруппа, поэтому отображе­ние проекции q1: будет γ гомоморфизмом. Следовательно, и поэтому ядро ограничения q1 на есть в точ­ности единица группы

Пусть теперь π — такой элемент группычто

На первую координату π действует как единица, поэтому π ker q1. Следовательно, π есть единица группы

Предложение доказано.

3.25. Утверждение. а) Если S — комбинаторная полугруппа, то Sγ={0} и SGM = {0}. Следовательно, если Sγ — комбинаторная полугруппа, то Sγ = {0}, и если SGM — комбинаторная полугруппа, то SGM = {0}.

б) Пусть S будет GGM полугруппой с отмеченным F классом J. Пусть φ — гомоморфизм полугруппы S, взаимно однозначный на мак­симальной подгруппе в J. Тогда φ будет взаимно однозначным на S.

в) Если S есть GM полугруппа, то Sγ = S.

г) Если S есть GGM полугруппа, то

д) Если S есть GM и RLM полугруппы, то S = {0}.

Доказательство, a) SGM = {0}, когда S — комбинаторная полу­группа, поскольку GMJ (S) = {0} всякий раз, когда J будет комбина­торным F классом. Следовательно, SGM = {0}. Последнее утвержде­ние вытекает из того, что

б) Заметим, что ограничение φ на J будет гомоморфизмом.

ПустьТак как S есть GM полугруппа, существуют элементы такие, что Тогда или

или

в J.

В первом случае, поскольку φ (J) ≠{0}, мы имеем