Дискретно-непрерывная математика (стр. 1 )

Парадигма развития науки

Методологическое обеспечение

А.Е. Кононюк

ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ МАТЕМАТИКА

Книга 4

Алгебры

(четкие и нечеткие)

Часть 1

Киев

Освіта України 2011

УДК 51 (075.8)

ББК В161.я7

К 213

Рецензент: Н.К. Печурин - д-р техн. наук, проф. (Национальный авиационный университет).

Кононюк А. Е.

К65. Дискретно-непрерывная математика. Алгебры. К.4.Ч.1.

К.4:"Освіта України", 2011. - 452 с.

ISBN 978-966-7599-50-8

Многотомная работа содержит систематическое изложение математических дисциплин, исспользуемых при моделировании и исследованиях математических моделей систем.

В работе излагаются основы теории множеств, отношений, поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц, графов, математической логики, теории формальных грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности образуют единную методолгически взамосвязанную математическую систему «Дискретно-непрерывная математика».

Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов, докторантов и просто ученых и специалистов всех специальностей.

ББК В161.я7

ISBN 978-966-7599-50-8 ©А. Е. Кононюк, 2011

Оглавление

Введение…………………………………………………………............4

Модуль 1. Введение в алгебры...………………………………………8

Микромодуль 1. Основные понятия арифметики...……………...........8

Микромодуль 2. Арифметика с нечеткими числами...……………… 36

Микромодуль 3.Основные понятия и фундаментальные

алгебры...………………………………………………………………...70

Модуль 2. Введение в теорию групп...……………………………..112

Микромодуль 4. Основные понятия и действия с группами ………112

Микромодуль 5. Группы самосовмещений и ивариантные

подгруппы...…………………………………………………………… 151

Микромодуль 6. Гомоморфные отображения и группы

перемещений ...………………................................................................ 183

Модуль 3. Алгебраическая теория полугрупп...……………………224

Микромодуль 7. Полугруппы. Определения и примеры...…….......224

Микромодуль 8. Локальное построение конечных полугрупп....... 239

Микромодуль 9. Гомоморфизмы и полулокальная теория…………289

Микромодуль 10. Методы вычисления сложности конечных

полугрупп………………………………………………………………. 335

Микромодуль 11. Топологические полугруппы................................. 373

Микромодуль 12. Моноиды и регулярные события...………………400

Микромодуль 13. Нечеткие композиции..................................416

Список литературы ...…………………………………………...... 450

Введение

Алгебра - раздел математики, которая изучает алгебраические системы. Понятие алгебра происходит от арабского аль джабр, аль габр. Алгебра возникла вследствие поиска общих методов решения сложных арифметических задач, которые выдвигались человеческой практикой. От арифметики отличается внедрением буквенной символики, которую используют при исследовании числовых систем, составлении и решении уравнений. Отдельные примеры решения алгебраических задач были уже у математиков Старинного Вавилона и Египта. Теорию уравнений развили древнегреческие математики, особенно Диофант. Высокого развития достигла алгебра в Китае в ранние и средние века. Значительный вклад в алгебра внесли среднеазиатские ученые. В 9 ст. после работ узбекского математика Г. Хорезме алгебра целиком отделилась от арифметики и геометрии. Тогда же были разработаны общие методы решения алгебраических уравнений 1 и 2-го степеней. В 16 ст. итальянским ученым удалось найти общие методы решения алгебраических уравнений 3 и 4-го степеней. С этих пор начинается бурное развитие алгебры в Европе. Уточняется и обобщается понятие числа, создается современная буквенная символика (Ф. Вьет, Р. Декарт). Возникновение в 17 ст. аналитической геометрии открыло возможности для широкого внедрения алгебраических методов в геометрию и привело к полному признанию отрицательных чисел. В нач. 19 ст. в связи с потребностью решать алгебраические уравнения были внедренные мнимые числа. На границе 18 и 19 ст. начинается деление алгебры на ряд самостоятельных разделов. Еще в 18 ст. от общей теории алгебраических уравнений отделилась теория системы уравнений 1-го степени, которая представляет предмет т. з. линейной алгебры. Значительных успехов достигла алгебра многочленов, которая изучает алгебраические уравнения высших степеней, в частности была доказана основная теорема алгебры. В нач. 19 ст. и Э. Галуа установили факт неразрешимости в радикалах произвольных уравнений 5-го и высших степеней, что привело к созданию теории алгебраических чисел. Как доказано теорией Галуа, вопрос о решении алгебраических уравнений тесно связан с изучением полей алгебраических чисел и свойствами особых образований, т. н. групп подстановок. Эти группы представляют отдельный пример более общих групп преобразований (групп Ли), которые в конце 19 ст. начали широко применяться в геометрии и теории дифференциальных уравнений. Значительный вклад в развитие алгебры внесли работы . В 19 – в нач. 20 ст. заложены основы алгебраической геометрии. Развитие линейной алгебры привело к возникновению алгебры тензоров и алгебры теории инвариантов, а нач. 20 ст. стало основой для создания функционального анализа и общей теории векторных пространств. Со 2-й четверти 20 ст. основное место в алгебре занимает не алгебра многочленов и решение уравнений, а изучение абстрактных систем объектов с теми или другими операциями - абстрактная теория групп, колец, полей. В развитие современной алгебры выдающийся вклад внесли , , и др. В ряде областей алгебра, напр., в теории групп, в теории радикалов, занимает ведущее место в математике. Среди украинских ученых весомый вклад в развитие алгебры внесли , и , который воспитал известных алгебраистов , и др. Ряд оригинальных работ по алгебре в 20 – в нач. 30-х гг. выполнил украинский математик . Алгебраическую школу в области теории обобщенных групп создал в Харькове . С 1955 в Киев. университете восстановились алгебраические исследования в области абстрактной теории групп () и теории топологических групп (). В 1965 начались исследование по общим вопросам алгебры в Институте математики АН Украины () и в Киев. университете ( и др.). Работа в области алгебры ведется и в ряде других научных центров Украины. Понятия и методы современной алгебры все шире используются во многих разделах математики и составляют одну из основ ее прогресса.

Переход от арифметических задач к алгебраическим находит свое выражение в том, что в задачах числовые данные заменяют буквенными. Обозначение чисел буквами отвлекает нас от специальных числовых данных, которые фигурируют в той или другой задаче, и приучает решать задачи в общем виде, т. е. для любых числовых значений величин, которые у нее входят.

Согласно этому, в начальных, важнейших, главах курса алгебры изучаются правила действий над буквенными выражениями, или, что то же самое, законы так называемых тождественных преобразований алгебраических выражений. Выясним это понятие.

Каждое алгебраическое выражение представляет собой совокупность букв, связанных между собой знаками алгебраических действий; при этом для простоты мы будем рассматривать лишь действия сложение, вычитание и умножение. Содержание каждого алгебраического выражения заключается в следующему: если буквы, которые принимают участие в выражении, заменить числами, то выражение показывает, какие действия и в каком порядке необходимо выполнить над этими числами; иначе говоря, всякое алгебраическое выражение представляет собой некоторый, записанный в общем виде, алгоритм для обычного арифметического вычисления. Тождественное преобразование алгебраического выражения означает переход от одного выражения к другому, связанному с первым следующим соотношением: если мы в обеих выражениях каждой букве дадим совсем произвольное числовое значение с одним условием, чтобы та самая буква, которая входит в оба выражения, получила в обеих случаях то самое значение, и если после этого выполним указанные действия, то оба выражения дадут один и тотже числовой результат. Тождественное преобразование записывается в виде равенства двух алгебраических выражений; равенства эти справедливы при любой замене входящих в них букв числами (как указано выше). Равенства этого вида называются, как известно, тождествами. Например:

а-а = 0, (1)

(a+b)c = ac + bc. (2)

Всякое тождество выражает некоторое свойство входящих в него действий. Так, например, тождество (1) говорит нам, что вычитая из какого-нибудь числа это самое число, мы всегда получим олин и тот же результат, а именно нуль. Тождество (2) утверждает следующее свойство действий сложения и умножения: произведение суммы двух чисел на третье число равно сумме произведения каждого из слагаемых на это третье число.

Тождеств существует бесконечно много. Однако можно установить небольшое число основных тождеств, подобных вышеизложенным, так, что любое тождество является следствием из этих основных тождеств.

Всякое алгебраическое вычисление, т. е. всякое как угодно сложное тождественное преобразование одного алгебраического выражения в другое, является, таким образом, комбинацией небольшого числа основных или элементарных тождественных преобразований, которые излагаются в элементарной алгебре под названием правил раскрытия скобок, правил знаков и т. п. Выполняя эти комбинации элементарных преобразований, обычно, даже забывают о том, что каждая буква в алгебраическом выражении есть только символ, знак, который обозначает некоторое число: вычисление, как говорят, делают механически, забывая о реальном содержании выполняемого в каждый момент преобразования, а заботясь лишь о соблюдении правил этих преобразований. Так делают, по обыкновению, и опытные математики и начинающие ученики. Однако в последнем случае иногда, к сожалению, бывает, что это реальное содержание выполненных преобразований вообще выскальзывает с сознания.