Дискретно-непрерывная математика (стр. 107 )

Доказательство. Если х А, то х2 хА и хА = А по лемме 3. Следовательно, х2 А. По индукции доказывается, что хп А для всех п ≥ 1. По условию множество А замкнуто, следовательно, Г(х) А. Тогда по лемме 3 еГ(х)=Г (х), где е — идемпотент в Г(х). Но имеется включение еГ(х) N(х), поскольку N(х) — идеал в Г (х). Из этого вытекает, что Г (х) = N (х), следовательно, Г (х) — группа.

Следующая лемма дает нам удобное техническое средство для изучения компактных полугрупп с разделяющими точками, а также компактных полугрупповых действий на континуумы с разделяющими точками.

5. Лемма. Предположим, что S - компактная полугруппа и S действует на континуальное множество X. Если Н — подмножество в S с непустой границей F (Н) и Н * содержит такую точку х, что Sx H*, то для некоторой точки p F (Н) имеется включение Sp Н *.

На интуитивном уровне строгости формулировка этой леммы означает, что если некоторая точка из множества Н * переводится всей полугруппой S внутрь Н*, но эта точка лежит в Н * достаточно глубоко, то ее можно вытянуть из внутренности Н *, т. е. имеется граничная точка множества Н, переводимая всей полугруппой S также в Н*. Ясно, что эта лемма оказывается очень полезной, когда Н имеет только одну граничную точку, она существенно применяется в доказательстве свойств (1) и (2) в применении леммы 5.

5. Применение леммы. 1) Пусть имеется действие S × X →X, где S и X — компактные множества. Пусть J — максимальное множество относительно свойств □≠J X и SJJ. Если СХ\J и С есть пересечения континуальных множеств с одноточечной границей, то С содержит самое большее одну точку.

Это предложение — одно из важнейших вспомогательных средств в роботах Дэй и Уоллеса, где рассматриваются действия S × X →X, для которых X является континуальным множеством с открытой плотной полупрямой, т. е. X содержит гомеоморфный образ интервала (0, 1], который плотен в X (т. е. его замыкание равно X), но который открыт в X. Каждая точка в образе (0, 1) является разделяющей. Единичная спираль из примера 2 (1) представляет собой континуальное множество с открытой плотной полупрямой.

2) Пусть S — компактная полугруппа, которая действует на отрезок I = [0, 1] так, что S0 = 0. Тогда множество нулей этого действия {х I | Sx = х} имеет вид [0, c] для некоторого c [0, 1].

Доказательство. Пусть Z = {х I | Sx = х} и z есть верхняя грань множества Z, z существует, так как Z≠□(0 Z) и так как Z ограничено, например, числом 1. Поскольку S — компактная полугруппа, нетрудно доказать, что множество Z замкнуто (см. доказательство леммы 3), следовательно, z Z. Итак, Z [0, z], и 0, z Z. Предположим, что х (0, z), тогда х— граничная точка в І как множества [0, х], так и множества [х, 1]. Положим Н = [0, х] и применим лемму 5. Мы получим, что Sx [0, х], так как S0=0. Пусть теперь Н=[х, 1], тогда снова из леммы 3 вытекает, что Sx [x, 1], так как z [x, 1] и Sz = z. Следовательно, Sx = x и поэтому x Z. Отсюда следует что (0, z) Z. Таким образом, получаем [0, z]= Z.

Информация, которая содержится в следующей теореме, применяется очень часто. На языке алгебраических полугрупп она утверждает, что минимальный идеал компактной полугруппы вполне простой. Доказательство этого факта, по существу, алгебраическое, компактность необходимая для того, чтобы установить существование минимального левого, правого и двустороннего идеалов. Дальше топологические свойства не играют никакой роли и то, что идеал вполне простой, показывается так же, как в алгебраической полугруппе.

9. Теорема. Если S — компактная полугруппа, то S имеет компактный минимальный идеал К(S), и если и — семейства всех минимальных левых и минимальных правых идеалов полугруппы S соответственно, то К (S) = = . Кроме того, если L и R , то LR = К (S) и L R = Н (е) для некоторого идемпотента е. Следовательно, К (S) является объединением непересекающихся групп которые непересекаются. Если х К (S), то минимальный левый идеал, который содержит х, имеет вид Sx и минимальный правый идеал, который содержит х, имеет вид xS.

Доказательство. Сама полугруппа S есть компактный идеал в S, поэтому по лемме Цорна существует непустая максимальная башня Г компактных идеалов. Согласно пункту 2 вышеприведенных замечаний K=Г — компактное непустое множество, поэтому K будет минимальным компактным идеалом полугруппы S. В то же время

K - минимальный идеал, так как для любого элемента х K множество

SxS компактно, оно является идеалом и подмножеством любого идеала, содержащего х. Аналогично S содержит минимальный левый и правый идеалы. К— единственное подмножество в S с перечисленными ранее свойствами. Действительно, если К'— другой минимальный идеал, то □ ≠КК' К К'. Следовательно, K K' является идеалом, но тогда К К' = K = К'. К, так как если L , то L будет левым идеалом. В то же время K — идеал и мы получаем, что K L K и KL — левый идеал. Следовательно, KL=LK. Очевидно, объединение есть левый идеал, поэтому если мы докажем, что он является еще и правым идеалом, то получим, что = К. Для того чтобы сделать это, отметим, что Lx для каждого L и x S. (В самом деле Lx — левый идеал и если бы М был левым идеалом, содержащимся в Lx, то множество {у L| ух М} была бы левым идеалом, содержащимся в L и, следовательно, равным L, но тогда М равен Lx.) Поэтому