Дискретно-непрерывная математика (стр. 105 )

f( А) {f(A)| А А }, и если каждое А А компактно, тo

f( А) = {f(A)| А А }. Следовательно, если X - полугруппа и А — башня компактных подмножеств из X, тo х ( А) = {хА | А } для каждого элемента х Х.

4) Для любого непрерывного отображения f : X →Y и множества

A X имеется включение f(A*) f(A)*, и если множество A компактно в X, то f (A *) = f (A)*. Следовательно, если A и В — подмножества полугруппы, то A * В * ( АВ)*, и если A * и В* еще и компактны, то А*В* = (АВ)*.

5) Если А Х, А компактно и z A, то существует такое открытое множество W, что A W и z W.

6) Если А и В компактны, A×B X× Y, f : X × Y → Z - неспрерывное отображение и f(A×B)W, где W- открытое множество, то существуют открытые множества U и V, такие, что A U, B V и f (U × V) W. Следовательно, если X = Y = Z есть полугруппа и AB W, где W— открытое множество, то существуют открытые множества U и V, такие, что A U, B V и UV W.

6. Определение Для элемента x S положим Гп(х) = {хр|р ≥ n}*,

Г (х) = Г1 (х) и N (х) = {Гп (х)|п≥ 1}.

Следующая теорема была сформулирована Кохом и Намакурой.

8. Теорема Если x S и Г (х) — компактное множество, то N (х) будет идеалом Г (х) и N (х) — группа. Следовательно, для элемента х в компактной полугруппе степени х скапливаются к некоторому идемпотенту, в частности компактная полугруппа содержит идемпотент.

Доказательство. Замкнутое подмножество компактного пространства само компактно, поэтому N(x) есть пересечение непустой башни непустых компактных множеств. Тогда, в соответствии с пунктом 2 вышеприведенных замечаний, множество N (х) компактно и непусто. Непустое пересечение подполугрупп полугруппы снова будет полугруппой, поэтому N (х) — полугруппа.

Для того чтобы доказать, что N(х) является идеалом Г(х), мы покажем, что хr N (х) = N (х) для каждого r≥ 1. Следовательно, {хr|r ≥ 1} N (х) N (х). Тогда согласно пунктам 1 и 4 вышеприведенных замечаний Г (х)N(x) N(х). Имеется дуальное включение: N(х)Г(x)N(x). Пусть поэтому r≥1. Проделаем некоторые вычисления: хr N (х)=хr( {Гп(х)|п≥1}) и в соответствии с пунктом 3 вышеприведенных замечаний это равно {хrГп(х)| п ≥ 1}; согласно пункту 4 вышеприведенных замечаний хrГп (х) = (хr{ хр|р ≥ n})*, что равно {хr+р|р ≥ п}* = Гr+п. Следовательно,

что равно N (х), так как Гr+1 (х) … Г1 (х).

Поскольку N (х) — полугруппа, для того чтобы доказать, что она является группой, достаточно показать, что y(х) =N(х)у=N(х) для каждого элемента y N (x). Мы показали предварительно, что для каждого r≥1 хrN(х)=N(х)хr=N(х), интуитивно ясно, что последовательности хr сходятся к точкам множества N(х) и из этого должны бы следовать нужные нам равенства. Для справедливости этих рассуждений необходима компактность. Перейдем к доказательству. Положим А={а Г(х)|aN (х)=N(х)}. Если бы мы знали, что A* A, то, поскольку {xr|r ≥1} A, мы должны были бы иметь Г (x) A* A и, в частности, N (х) А, что и требуется. Для того чтобы доказать, что А* А, положим в А* и предположим методом от противного, что у А. Тогда yN(х) N (х), поэтому существует zN (x)\yN (х). Так как y и N(х) компактны, yN(x) — также компактное множество, следовательно, из пункта 5 вышеприведенных замечаний вытекает, что существует открытое множество W, такое, что z W и yN (x) W. [Отметим, что N(x)W]. Согласно пункту 6 вышеприведенных замечаний существуют открытые множества U и V, такие, что y U, N(x)V и UVW. Но в соответствии с пунктом 1 вышеприведенных замечаний, поскольку yUА*, существует некоторый элемент aU А; если a U, то aN (x)UVW, если а А, тo a N(х)=N (х), но а А U, т. е. a U и а А. Мы получили противоречие. Поэтому предположения, что у А, неверно, следовательно, A* A.

Из дуальных рассуждений вытекает, что множество

А' = {а Г (х) | N (х) а = N (х)} замкнуто и, следовательно, Г (x) A', поэтому Г(х)АА'={аГ(х) | aN (х) = N(x) a = N(x)}, в частичности