Дискретно-непрерывная математика (стр. 81 )

поэтому φ2 есть Р' гомоморфизм.

б) Доказательство основывается на том факте, что гомоморфизмы переводят α классы в α классы. Пусть α = F. Предположим, что Q и QJ есть конгруэнтности на S, такие, чтоПусть J1, ..., Jn будут F классы полугруппы Т. Множества φ-1 (Ji), i = 1, ..., п, не пересекаются и определяют разбиение S. Обозначим это разбиение Р. Тогда QP и QJP, так что Заметим, что тогда и только тогда, когда

Рассмотрим коммутативную диаграмму:

Предположим, чтоТогда

поэтому Из этого следует, что в Т. Следовательно, θ есть F гомоморфизм и существует гомоморфизм Тогда Доказательства для аналогичны.

3.3. Утверждение. Пусть Т — подполугруппа полугруппы S. Пусть α (S) и α (Т) — любые из отношений на S и Т

соответственно.

а) Если t1, t2 T— регулярные элементы полугруппы T и α — любое из отношений или , то t1α(T)t2 тогда и только тогда,

когда

б) Если S — полугруппа, представляющая собой объединение групп, то результат пункта а) справедлив также для

в) Пусть

Тогда ограничение φ на Т будет α(Т) го­моморфизмомв следующих случаях: 1) S есть объединение групп и α есть одно из отношений 2) Т регулярна и α есть одно из отношений

Доказательство, а) Отсылаем к доказательству утверждения 7 из предыдущего микромодуля.

б) Пусть и J есть F класс полугруппы S, содержащий

элементы t1 и t2. J есть простая полугруппа, так что T∩J — также простая полугруппа. Поскольку простая полугруппа содержит только один F классе, из вытекает, что Очевидно, что обратное также справедливо.

в) Этот пункт следует из пунктов а) и б).

3.4. Предложение. Пусть предположим, что Т есть RLM, LLM, GGM или GM полугруппа с отмеченным идеалом I. Пусть J — минимальный F класс полугруппы S, такой, что

Тогда

соответственно.

Доказательство. Пусть Т будет RLM полугруппой. Пусть sl, s2 S и предположим, что. Мы должны показать, что . Для каждого элемента х J илив J, или оба В последнем случае в силу минимальности класса J мы имеем Если xs1Lxs2, то . Следовательно, а так как I# комбинаторная, получаем, что Таким образом, для всех i I мы имеем iφ (s1) = iφ (s2). Следовательно, так как Т есть RLM полугруппа. Посредством дуальных рассуждений доказывают требуемый результат, когда Т есть LLM полугруппа.

Пусть Т есть GGM полугруппа. Пусть элементы s1, s2 S, такие, что GGMJ(s1) =GGMJ(s2). Для всех х1, х2 I или. в J, или оба элемента х1s1х2 и Cледовательно,

для всех x1, x2 J или

для всех i1,i2 I. Так как Т есть GGM полугруппа, пoлучаем, что для всех i1 I , из этого следует, что φ(s1) = φ (s2). Пусть Т есть GW полугруппа. Если Т = {0}, то утверждение три­виально. Предположим, что Т ≠ {0}. Тогда I# будет регулярной не­комбинаторной. Далее доказательство ведется так же, как в случае, когда Т есть GGM полугруппа.

3.5. Определение. Пусть S — полугруппа.

а) ПоложимQ' есть отношение конгруэнтности на S и S/Q' есть GM полугруппа}. По определению SGM = S/Q (GM). Отметим, что SGM не обязательно является GM полугруппой.

б) Положиместь отношение конгруэнтности и S/Q' есть GGM полугруппа}. По определению|. Отметим, что SGGM не обязательно является GGM полугруппой.

в) Положим есть отношение конгруэнт­ности и S/Q' есть RLM полугруппа}. По определению

Отметим, что SRLM не является в общем случае RLM полугруппой.

г) Дуальным образом определяем

3.6. Утверждение. Пусть J1, ..., Jn — регулярные F классы по­лугруппы S.

Доказательство, а) Пусть Q, есть отношение конгруэнтности на S, индуцированное

Тогда предложение 3.4 утверждает, что для каждого отношения конгруэнтности Q, где S/Q есть GM, существует i, такое, что Qi Q. Таким образом, легко видеть, что так что