Дискретно-непрерывная математика (стр. 37 )

Не следует думать, что каждый элемент единственным образом выражается через образующие; например, а7=а1а3а1-1 и в тот же время

а7 =а3-1а1-1а3а1а3.

Группа поворотов тетраэдра некоммутативна.

Например,

а1а3= a10, а3а1 = а11.

Следующая общая теорема говорит: некоторое множество Е элементов группы G тогда и только тогда является системой образующих этой группы, когда не существует никакой собственной подгруппы группы G, которая содержала бы все элементы множества Е.

Пользуясь этой теоремой, можно, например, найти все системы образующих группы поворотов тетраэдра (состящие не более чем из трех элементов каждая).

Уже из этого примера будет видно, как много различных систем образующих может иметь конечная группа.

2.5.5. Группы поворотов куба и октаэдра

1. Для того чтобы установить все самосовмещения куба, сделаем так же, как и в случае тетраэдра: рассмотрим сначала лишь те самосовмещения куба АВСDА'В'С'' (рис. 2.7), которые одну из вершин,— пусть А, - совмещают с самой собой.

При каждом самосовмещении куба вершина переходит в вершину, ребро в ребро, грань в грань; также и диагонали куба переходят в самих себя. Если данное самосовмещение оставляет вершину А неподвижной, то оно оставляет неподвижной и диагональ АСС′ (так как существует лишь одна диагональ куба, которая выходит из вершины А). Итак, наше самосовмещение есть поворот куба вокруг диагонали АСС′. Таких поворотов, кроме тождественного, имеется два: на угол 2π/3 и на угол 4π/3.

Итак, есть всего три самосовмещения куба, которые переводят вершину А в саму себя. Но вершину А надлежащее подобранным поворотом можно перевести в каждую из восьми вершин куба; отсюда, повторяя те же соображения, которые и в случае тетраэдра, легко выводим, что всех самосовмещений куба имеется 3∙ 8 = 24.

Рис. 2.7

Постараемся определить каждое из этих самосовмещений. Заметим прежде всего, что у куба имеются следующие 13 осей симметрии: четыре диагонали, три прямые, соединяющие попарно середины граней куба, шесть прямых, соединяющих попарно середины противоположных ребер куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей имеется два нетождественных поворота куба, совмещающих куб с самим собой, всего имеем восемь поворотов вокруг диагоналей.

Вокруг каждой из прямых, соединяющих центры противоположных граней куба, имеется три нетождественных поворота. Следовательно, всего таких поворотов 9.

Наконец, имеем один нетождественный поворот (на угол π) вокруг прямой, соединяющей середины двух противоположных ребер; общее число этих поворотов равно шести.

Итак, имеем 8+9+6=23 нетождественных поворота, совмещающих куб с самим собой. Если присоединить к ним еще тождественный поворот, получим 24 самосовмещения, т. е. все самосовмещения куба, какие только имеются.

Итак,

поворотами куба вокруг его осей симметрии исчерпываются все его самосовмещения.

Поэтому, так же как и в случае тетраэдра, группа самосовмещений куба называется группой поворотов куба.

Прежде чем идти дальше в изучении построения группы поворотов куба, докажем следующую лемму:

Лемма. Единственный поворот куба, переводящий каждую из его четырех диагоналей в самое себя, есть тождественный поворот.

(Не следует упускать из виду следующее обстоятельство: если при данном повороте куба данная диагональ, положим АС′, переходит в самое себя, то это не значит, что вершины, определяющие эту диагональ (в нашем случае вершины А и С′), непременно остаются неподвижными: они могут поменяться местами (т. е. А может перейти в С′, а С′ в А).

В самом деле, заметим сначала, что всякий поворот, который переводит в себя любые две диагонали куба, положим, АС′ и DB', — переводит в себя и диагональную плоскость ADC′B' (см. рис. 2.7). Всякий нетождественный поворот, который переводит в себя некоторую плоскость, имеет своей осью либо прямую, лежащую в данной плоскости, - в этом случае угол поворота равен π, либо прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Но поворот плоскости на угол π вокруг оси, лежащей в этой плоскости, переводит у самих себя, кроме оси поворота, лишь прямые, перпендикулярные к этой оси. Так как прямоугольник ADC'B' не является квадрат, то диагонали его, не будучи взаимно перпендикулярными, не могут переходить каждая в себя саму при повороте вокруг которой бы то ни было оси, лежащей в плоскости прямоугольника. Итак, АС' и DB' могут переходить в самих себя лишь при поворотах куба вокруг осы, перпендикулярной к плоскости ADC'B'. Такой осью является прямая MN, соединяющая середины сторон А'D' и ВС. Единственный нетождественный поворот куба вокруг прямой MN есть поворот на угол π. Значит, только при этом повороте каждая из диагоналей АС' и DB' переходит в саму себя. Но при этом повороте две другие диагонали BD' и СА' меняются местами, так что нетождественного поворота, который переводит в самих себя все четыре диагонали куба, вовсе нет.

Таким образом, при каждом нетождественном повороте куба четыре его диагонали выполняют нетождественную подстановку. Отсюда следует: при двух различных поворотах а и b диагонали испытывают различные подстановки, так как если бы при поворотах а и b происходила та же самая подстановка диагоналей, то при повороте ab-1 все диагонали оставались бы на месте, и значит, ab-1 было бы тождественным поворотом, а потому повороты а и b совпадали бы между собой.

Итак, всем 24 различным поворотам куба соответствуют различные подстановки четырех диагоналей, производимые этими поворотами. Но всех различных подстановок из четырех элементов имеется, как известно, 1∙2∙3∙4=24

Отсюда следует: между группой всех поворотов куба и группой всех подстановок его четырех диагоналей имеется взаимно однозначное соответствие. Так как при установленном нами соответствии произведению поворотов соответствет произведение подстановок, то имеем следующую теорему (ведь произведение двух поворотов состоит в последовательном осуществлении этих поворотов, произведение подстановок - в последовательном осуществлении этих подстановок, тогда как взаимно однозначное соответствие между поворотом и подстановкой диагоналей заключается в соответствии данного поворота с фактически производимой им подстановкой диагоналей):

Группа поворотов куба изоморфна группе всех подстановок из четырех элементов.

Среди подгрупп поворотов куба отметим прежде всего циклические подгруппы второго, третьего и четвертого порядков, которые состоят соответственно из поворотов вокруг каждой из 13 осей симметрии куба. Циклических подгрупп второго порядка шесть (по числу осей, которые соединяют середины двух противоположных ребер), циклических подгрупп третьего порядка четыре (по числу диагоналей), циклических подгрупп четвертого порядка имеется три (по числу соединяющих центры противоположных граней).

Значительно больший интерес представляют следующие перечисленные ниже подгруппы.

а) Подгруппа двенадцатого порядка, состоящего из поворотов, переводящих в себя (одновременно) каждый с двух тетраэдров АСВ'D' и BDA'С' (рис. 2.8), вписанных в куб. Эта подгруппа состоит из 2∙4 = 8 нетождественных поворотов вокруг диагоналей куба, из трех поворотов, каждый на угол π, вокруг осей, которые соединяют центры противоположных граней, и из тождественного поворота.

Рис. 2.8

б) Три подгруппы восьмого порядка, изоморфные группе четырехугольной двойной пирамиды (диэдра).

Каждая из этих подгрупп состоит из тех поворотов куба, которые переводят в самое себя одну из прямых, соединяющих центры двух противоположных граней, например, точки S и S' (октаэдр, вписанный в куб, является частичным случаем четырехугольного диэдра; группа его поворотов, которые оставляют недвижимыми или меняющих местами две вершины его S и S', и будет группой четырехугольного диэдра).

Эта подгруппа восьмого порядка получается из следующих восьми поворотов: четырех поворотов вокруг оси SS' (включая тождественный); двух поворотов на угол π вокруг осей, которые соединяют соответственно середины ребер АА' и СС′, ВВ' и DD'; двух поворотов на угол π вокруг осей, которые соединяют соответственно центры граней АВВ'А' и CDD'С', ADD'А' и ВСС'В'.

в) Подгруппа четвертого порядка, состоящая из тождественного преобразования и трех поворотов на угол π вокруг каждой из осей, которые соединяют центры двух противоположных граней. Эта группа состоит из тех поворотов, которые входят в каждую из перечисленных в п. б) трех подгрупп восьмого порядка. Эта подгруппа четвертого порядка коммутативна и изоморфна группе поворотов ромба (т. е. клейновской группе порядка 4).

Кроме упомянутых, имеются еще подгруппы четвертого порядка, которые также изоморфны группе самосовмещений ромба.

2. Группа самосовмещений или поворотов правильного октаэдра изоморфна группе поворотов куба.

Чтобы убедиться в этом, достаточно описать куб вокруг правильного октаэдра (рис. 2.9) или вписать куб в правильный октаэдр (рис. 2.10).

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Каждое самосовмещение октаэдра соответствует некоторому самосовмещению куба, и наоборот.

Это положение вещей есть одним из проявлений отношения двойственности, имеющего место между кубом и октаэдром; сейчас мы его определим.

Прежде всего мы назовем два элемента (вершина, ребро, грань) какого-нибудь многогранника инцидентными, если один из этих двух элементов принадлежит второму (как его элемент). Таким образом, вершина и грань, имеющая эту вершину среди своих вершин, а также грань и ребро этой грани, наконец вершина и ребро, одним из концов которого является эта вершина - суть пары инцидентных элементов.