Дискретно-непрерывная математика (стр. 70 )

В случае 2 (см. пункт г)) М является объединением H классов и МJ≠ 0. Пусть J=J(M) и предположим, что {R (а):а А}, {L(b):bВ} и {Н(а, b)=R (а) L (b)} будут R, L и H классами соответственно полугруппы S, содержащимися в J. Пусть

Очевидно, что А' и В' - непустые множества, но тогда получаем противоречие J M.

Пусть а1 А'. Тогда Т = М1 R (а1) М есть подполугруппа в S, содержащая в качестве собственного подмножествоа М. Для того чтобы доказать это, воспользуемся тем фактом, который R(a1)M R(a1) M Т. [Действительно, пусть r R (a1), m M и предположим rm М. Тогда rm J, так что rmFr, откуда вытекает rmR r, т. е. rm R(a1).] Следовательно, Т = S. Пусть а2 А', поэтому R(а2) М. Тогда M1R (a1) R (а2) ≠ , т. е. существует такой элемент mМ1, что mR(a1) R (а2) ≠. Но в силу утверждения mR(a1)=R (а2) и, в частности, для всех b BтН(а1, b)=Н(а2, b). Аналогично (при помощи L классов) легко устанавливается существование такого элемента тМ1, что для b1, b2В' Н (а, b1)т =Н (а, b2) при всех а А.

Теперь для того чтобы показать, что H классы из J не принадлежат М, докажем лемму.

Лемма. Н (а, b) М = тогда и только тогда, когда а А' и bВ'.

Пусть а А' и b В' и предположим, что Н (а, b) М. Тогда для каждого aіА' существует элемент тіМ1, такой, что тіН(а, b)=Н(аі, b). Следовательно, для всех а АН(аі b) M, откуда вытекает, что L (b) M, это противоречие. Обратное очевидно.

Следовательно, если В' = В, то легко видеть, что j (М J) представляется выражением 3.1. Аналогично, если А'=A, j(M J) должно быть представлено выражением 3.2. А' и В' - собственные подмножества А и В, тогда j (M J) представляется выражением 3.3.

Так как легко построить примеры, в которых j (M J) представлено выражением 3.1 или 3.2, но (M J)0 не является максимальной подполугруппой в J0 (см. замечание 16), мы завершим доказательство, показав, что (M J)0 будет максимальной в J0, если j(M J) представляется выражением 3.3. Принимая к вниманию предыдущие рассуждения, достаточно показать, что для каждых а1, а2 А' существует элемент т М J (а не просто m М1 как ранее), такой, что mR(а1) = R (а2) и что для каждых b1, b2 В' существует элемент m' M J, такой, что L(b1)т' = L (b2). Кроме того, согласно определению упорядочения на F классах, это эквивалентно тому, что такие т, т' можно выбрать в М J*, где

J* = { J': J' есть F класс полугруппы S и J'≤ J}, так как J* — J есть идеал полугруппы S.

Пусть R (A') = {R (а) : а A'}. Теперь для всех a А' мы показали, что R(A') М1R(а). К тому же по определению J* имеем (M J*) М1 = М J* = M1(M J*). Пусть теперь для любого а А' R (A') (M J *) R (а) или R (А') (М J *) R (а) = , так как если m R (а) R (а') ≠ для некоторого а' А' и т М, то

m R (а) = R (а'), поэтому

и

Если

тогда

Теперь

и

есть подполугруппа, поэтому

C (b, а) = 0 для всех (а, b) (А — А') × (B — В').

Если для а А' мы имеем R (А') (М J*) R (а)= , то в силу изложенного ранее R (А') (М J*) R (А') = , поэтому, в частности, равенство [G × А' × (В— В')] (G × А' × В) = {0}, показывая, что С(b, а)=0 при всех (а, b) А × (В—В'), противоречит регулярности класса Ј. Из этого следует, что R (A') (М J*)R (a) для любого элемента а А', т. е. для всех элементов а1, а2 А' существует m М J, такой, что m R (а1) = R (а2) (мы заменяем J * на J, так как не существует элементов из J * — J, которые могли бы удовлетворять условию). Доказательство для L классов аналогично.

Замечание 15. Пусть S = М0 (G; А, В; С) — регулярная рисовская полугруппа матричного типа. Если М — максимальная подполугруппа полугруппы S, то J (М) = {0} или J (М) = S— {0}. В первом случае S—{0} есть подполугруппа и М = S— {0}. Во втором случае МJ(М)= тогда и только тогда, когда S— {0} есть простая абелева группа [т. е. (Zp, +) для некоторого простого числа р]. В противном случае М J (М) имеет один из следующих трех видов в некоторой системе координат: