Дискретно-непрерывная математика (стр. 68 )

в) Доказательство этого пункта оставляем читателю как упражнение.

Определение 18. Пусть S — полугруппа, S называется нильпотентной, если S содержит нулевой элемент и Sn = {0.} для некоторого целого п. Наименьшее такое целое число cl(S) называется нильпотентным классом полугруппы S.

Утверждение 20. а) Следующие высказывания эквивалентны:

1) S — нильпотентная полугруппа;

2) S содержит нулевой элемент и каждый, не равный нулю, F класс полугруппы S — нулевой;

3) Е (S) = {0};

4) для каждого элемента х S существует целое число п (х), такое, что хп(х) = 0;

5) для каждого идеала I полугруппы S, I и S/I есть нильпотентными.

6) Гомоморфные образы, подполугруппы и конечные прямые произведения нильпотентных полугрупп — нильпотентнные.

в) Пусть S — полугруппа и п — наименьшее целое положительное число, такое, что Sп=Sп+1. Тогда S→→S/Sn есть максимальный нильпотентный гомоморфный образ полугруппы S и cl (S/Sn) = п.

Доказательство. Пункт б) проверяется очень легко.

а) Легко видеть, что из (1) вытекает (3), из (3) вытекает (4) и из (4) вытекает (3). Для того чтобы доказать, что из (3) вытекает (2), предположим, что Е (S) = {0} и пусть J будет F класс, который не равный нулю. Тогда J не содержит идемпотентов, поэтому J0 не содержит ненулевых идемпотентов. Следовательно, J0 не является 0-простой, т. е. J — нулевой F класс.

Для того чтобы доказать, что из (2) вытекает (1), предположим, что каждый не равный нулю F класс полугруппы S, нулевой. Пусть 0 S. Кроме того, пусть S = І0 І1 ... Іп = {0} есть главный ряд для полугруппы S. Тогда S/I1— полугруппа с нулевым умножением, поэтому S2 I1. Далее I1/I2 — полугруппа с нулевым умножением, поэтому S4 I12 I2. Продолжая дальше, мы получим, что In = {0}, поэтому S нильпотентна.

Тот факт, что из (1) вытекает (5), следует из пункта б). Для того чтобы доказать, что из (5) следует (1), предположим, что I и S/I нильпотенты с п1 = cl (S/I) и п2 = cl (I). Тогда I, поэтому {0}, т. е. S — нильпотентная полугруппа.

в) Для того чтобы показать, что η : S →→ S/Sn есть максимальный нильпотентный образ полугруппы S, положим φ : S →→N, где Nk = {0}. Пусть т = max (n, k), тогда φ(Sп)=φ (Sm)=Nm={0}. Пусть отображение

φ * : S/Sn →→ N определяется соотношениями φ*(0)=0 и φ*(s)= φ (s) для s S — Sп. Тогда равенство φ*η= φ доказывает максимальность,

cl (S/Sn) = п по определению п и cl.

Напомним следующее определение.

Определение 19. Полугруппа S называется комбинаторной, если каждая подгруппа полугруппы S имеет порядок 1.

Утверждение 21. а) Полугруппа S комбинаторная тогда и только тогда, когда каждый Н класс полугруппы S содержит в точности один элемент.

б) Гомоморфные образы, подполугруппы, конечные прямые произведения и узловые произведения комбинаторных полугрупп — также комбинаторные полугруппы.

Доказателство. а) Так как любая подгруппа из S содержится в Н классе, из условия на Н классы вытекает комбинаторность полугруппы S. Обратно, если Н есть Н класс полугруппы S и |Н| ≥ 2, то группа Щютценберже G (Н) имеет порядок ≥ 2. Но G (Н) есть гомоморфный образ RI (H) S1 и в силу пункта в) утверждения 7 существует группа G RI (Н), такая, что G →→ G (Н)). Следовательно, |G| ≥ 2 и G S1. Однако, если S1 ≠ S, тo подгруппа, которая содержит 1, имеет только один элемент, поэтому в любом случае S содержит нетривиальную подгруппу; получено противоречие.

б) Доказательство этого пункта оставляем читателю как упражнение.

3.5. Подполугруппы

В этом разделе развитый выше аппарат применяется для доказательства некоторых фактов о подполугруппах конечных полугрупп. Все рассматриваемые далее полугруппы предполагаются конечными.

Определение 20. Множество М называется максимальной собственной подполугруппой полугруппы S, если М — такая собственная подполугруппа в S, что всякий раз, как M T S для некоторой подполугруппы Т в S, или М = Т, или Т=S. М называется максимальной комбинаторной подполугруппой полугруппы S, если М — такая комбинаторная подполугруппа, что, когда Т является комбинаторной подполугруппой, содержащей М, Т = М.

Утверждение 22. Пусть C — максимальная комбинаторная подполугруппа полугруппы S. Тогда I(C)—LI(C)=RI(C)=C (см. определение 9).

Доказательство. Из соображений двойственности следует, что достаточно доказать равенство LI(C)=С. Предположим, что оно неверно. Тогда в S существует подполугруппа Т, минимальная по отношению к свойству С T LI(C). Тогда подполугруппа Т не будет комбинаторной и С есть максимальный левый идеал полугруппы Т.

Пусть L= Т-С будет L классом полугруппы Т. Поскольку Т не комбинаторная, L содержит нетривиальную группу. Следовательно, F класс полугруппы Т, которому принадлежит L, регулярен. Тогда этим F классом должно быть множество L, так как в противном случае полугруппа С содержала бы нетривиальную группу. Следовательно, L — регулярный F класс, который содержит единственный L класс. В силу теоремы Риса L — простая слева полугруппа и L2 = L. Пусть е L — идемпотентный элемент. Покажем теперь, что С {е} — комбинаторная подполугруппа полугруппы Т, тем самым будет получено противоречие, так как С — максимальная комбинаторная подполугруппа.

Для того чтобы доказать, что С {е} — подполугруппа, достаточно показать (поскольку С есть левый идеал), что Се С. Предположим, что l L, c С и что се L. Тогда lce L2 = L и мы получаем соотношение

S1LS1 = S1lce S1 S1lc S1 S1lS1 = S1LS1.

Следовательно, lc L это противоречие, так как С — левый идеал. Поэтому Се С. Утверждение доказано.

Следующее предложение дает полную классификацию максимальных подполугрупп. Каждая максимальная подполугруппа полугруппы S имеет некоторое естественное представление в координатах Грина — Рисa.

Предложение. Пусть М — максимальная подполугруппа конечной полугруппы S. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) для некоторого F - класса J (М) полугруппы S S — M (M);

б) М пересекает (пересечение нетривиальное) каждый Н класс полугруппы S или М является объединением Н классов полугруппы S;

в) если класс J (М) нулевой, тo J(М) M = , поэтому

M =S —J (М);

г) если М J(М)≠ [тогда в силу пункта в) класс J(М) регулярный и полугруппа J(M)0 изоморфна регулярной рисовской полугруппе матричного типа], то в силу пункта б) возможны два случая.

Случай 1. Если М пересекает каждый Н класс полугруппы S, то изоморфизм j : J (М)0→М0 (G; А, B; C) может быть выбран так, что

j [М J (М)] = G 1×А×В, где G1— максимальная полугруппа группы G. В этом случае [М J(М)]0 будет максимальной подполугруппой полугруппы J0.