Дискретно-непрерывная математика (стр. 120 )

Получим другую композиционную таблицу, на основе которой вычислим элемент (E1) × (Е2). Пусть задано соотношениям (3.34), а — соотношением (3.35). Имеем

(α )= [ (1/4 0,1/4 1/2, 1/4 0,1/4 1), (1/2 0, 1/2

1/2,1/2 0, 1/2 1), (1 0, 1 1/2,1 0, 1 1)] =

= [ (1/4, 1/2,1/4, 1), (1/2, 1/2, 1/2,1), ( 0,1,1,1)1 =

= (1/4, 1/2, 1)= 1/4,

(β) = [ (1/4 0, 1/4 1/2, 1/4 0, 1/4 1),

(1/2 0, 1/2 1/2, 1/2 0, 1/2 1),

(1 0, 1 1/2,1 0, 1 1)] = [ (0,1/4, 0, 1/4),

(0, 1/2,0, 1/2), (0, 1/2, 0, 1) = (1/4, 1/2, 1)=1.

Таким образом,

(α)= 1/4 и (β)=1.

Подмножествам

=(А|1/4),(B|1/2), (С|1)

и

= (a|0),(b|l/2),(c|0),(d|l)

соответствует

= (α |1/4), (β |1).

Замечание. Пусть в общем случае М1 связано с Е1; М2 связано с Е2, М3 связано с Е3.

Если (Е3) формируется из (Е1) и (Е2) посредством закона

*, опреденяемого условием

(x, y )= (х) (y) (3.38)

тo М3 будет выведено из М1 и М2 посредством формулы композиции (3.38). Так, для примера (3.36) и (3.37) очевидно, что

M3=M1 Mi! = M1= {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1}.

Разумеется, (3.38) не может рассматриваться как общая формула.

Ранее мы показали, как компонуются интервалы для операций и . Аналогичные процедуры можно применить для других случаев.

Пример 3. Построим нечеткий граф, вершины которого - нечеткие подмножества; этим будет определен закон внешней композиции.

Пусть

Е, Е.

Каждой упорядоченной паре ( , )(Е)×(E) будет поставлен в соответствие элемент, обозначенный

* = с( , ).

Элемент с принимает свои значения во множестве Q, определенном операцией *.

Предположим, например, что

Е = {a, b},

и

М= {0,1/2,1}.

Предположим также, что

Эта функция определяет значение с в

Q=M= {0, 1/2, 1}.

Полученный нечеткий граф представлен на рис. 3.37.

Рис. 3.37

Таким способом можно строить нечеткие графы, которые обладают специфическими свойствами, обусловленные их построением. Достоинство представления внешнего закона композиции в виде нечеткого графа заключается в том, что элементы (вершины графа) — нечеткие подмножества одного и того же универсального множества.

Если расширить эту тему, то можно дать конкретные приложения, например, когда операцию * используют при оценке расстояния.

Пример 4. Вернемся к примеру 3 и предположим теперь, что с( ,) - это относительное обобщенное расстояние Хемминга, которое определяется выражением

Очевидно, что им задается закон внешней композиции (рис. 3.38).

Рис. 3.38

Важность понятия закона внешней композиции нечетких подмножеств. Закон внешней композиции - очень важное понятие: им характеризуется любая система оценки отношений между нечеткими подмножествами одного и того же универсального множества, а фактически и между нечеткими подмножествами разных универсальных множеств. Множество, в котором (Е1) ×(E2) принимает свои значения, может быть обычным множеством или обычным множеством всех подмножеств, а в общем случае — множеством нечетких подмножеств (рис. 3.39).

Рис. 3.39

Расстояние между сообщениями или нечеткими подмножествами одного и того же универсального множества — пример (и при том один из наиболее тривиальных), иллюстрирующий это общее понятие.

Отметим, что процедуры для предсказания или разработки открытий и изобретений, называемые биассоциацией, в значительной степени опираются на законы внешней композиции. Такие процедуры состоят в потому, что выбирают понятие А, которое характеризуется обычным или нечетким подмножеством семейства понятий E1, и другое понятие В, которое характеризуется обычным или нечетким подмножеством другого (а в частности, и того же самого) семейства. Биассоциация А и В представляет собой внешний закон *, который позволяет получить новое понятие С, характеризующееся обычным или нечетким подмножеством третьего семейства (не исключается и случай совпадения этого семейства с одним из предыдущих) (рис. 3.40).

Рис. 3.40. Биассоциация

3.21. Операции на нечетких числах

Рассмотрим различные виды нечетких чисел.

Экспоненциальные нечеткие целые числа. Рассмотрим универсальное множество

Е = R+

и нечеткое подмножество , такое, что

Теперь определим :

(3.39)

Далее определим :

и вообще :

Отметим, что

и максимум достигается при

Таким образом, можно получить значения, которые приведено в табл. 3.1.

Нечеткие подмножества

, , ,…,,…...