Дискретно-непрерывная математика (стр. 16 )

Рассмотрим фундаментальные алгебры. Алгебра вида <М, f2> называется группоидом.

Если f2 — операция типа умножения (×), то группоид называют мультипликативным; если f2 — операция типа сложения ( + ), то аддитивным.

Пусть А = <М, f2> — группоид; обозначим операцию f2 как . Тогда элемент е М называется правым нейтральным элементом группоида А, если для всякого m М выполняется равенство

те= т; элемент еМ группоида А=<М,> называется левым нейтральным элементом, если для всех m М выполняется равенство еm=т. В этих определениях использовались выражения «все элементы», «всякий элемент». В дальнейшем для краткости вместо слов «все» или «всякий» будем использовать символ (перевернутая буква А — первая буква английского слова Аll— все). Если элемент е, еМ, группоида А=<М, > является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом. Никакой группоид не может иметь более одного нейтрального элемента. Действительно, если

т е = е т = т и т е — е' т = т

справедливо для всех m М, то

е' = е' е = е.

Если группоид <М, > мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей и обозначается 1; если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем и обозначается 0.

Группоид А=<М, > называется идемпотентным, если его сигнатура удовлетворяет закону идемпотентности

( m М)(m т= т).

Группоид <М, >, сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

( x, y М)(x y = у x ),

называется коммутативным или абелевым. Группоид <М, >, в котором выполняется закон ассоциативности

( x, у, z М)(x (y z) = (x y) z),

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа <М, >, в которой могут быть осуществлены обратные операции: для любых а, b М каждое из уравнений а х = b, yа = b обладает единственным решение, называется группой.

Проиллюстрируем понятие группы на примере группы подстановок,

которая содержит шесть элементов. Группу подстановок исследовал выдающийся французский математик Галуа в связи с решением уравнений в радикалах.

Подстановкой n-й степени называется взаимно однозначное отображение множества из п элементов на себя.

Рассмотрим три элемента: х1, х2, х3. Существует шесть перестановок из трех элементов: х1х2х3, х2 х3х1, х1х3х2, x3x1x2, х2х1х3, х3х2х1. Запишем две перестановки из трех элементов одна под другой

.

Эта запись означает, что х1 переходит в х2, х2 — в х3, х3 — в x1.

Число возможных подстановок равно числу перестановок. Введем следующие обозначения для шести возможных подстановок:

Введем операцию умножения × над подстановками. Произведением подстановок называется подстановка, которая получается в результате последовательного выполнения сначала первой, а потом второй из перемноженных подстановок. Например,

Выражение α×β, α, β = а, b, c, d, e, f определяет табл. 1.14.

Таблица 1.14

В рассмотренной алгебре <М, × > выполняется закон ассоциативности, но не выполняется закон коммутативности.

Алгебра <М, ×, + >, которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению — абелевою группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

a× (b + c) = a×b + a×c,

(b + c) ×a = b×a + c×a,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева, называется полем.

Рассмотрим алгебру множеств (алгебру Кантора)

Аk = <В(1)>, , ,¯ >,

носителем которой есть булеан универсального множества 1, сигнатурой — операции объединения , пересечения и дополнения ¯. Для операций алгебры Кантора выполняются следующие законы:

комутативности объединения и пересечения

Ma Mb = Mb Ma, Ma Mb = Mb Ma;

ассоциативности объединения и пересечения

Mа (Mb Mс) = (Ма Mb) Мс

Ма (М b Мс) = (Ма Mb ) Мс;

дистрибутивности пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения