Дискретно-непрерывная математика (стр. 9 )

1.6.2. Нечеткие числа и функции

В зависимости от характера множества U лингвистические переменные могут быть разделены на числовые и нечисловые. Числовой называется лингвистическая переменная, у которой U R1, где R1=(—∞, ∞), и которая имеет измеримую базовую переменную.

Нечеткие переменные, соответствующие значениям числовой лингвистической переменной, будем называть нечеткими числами. Если |U|<∞, то нечеткие числа будем считать дискретными, если же |U|=|R1| - то непрерывными. Приведенная выше лингвистическая переменная СКОРОСТЬ является числовой, а нечеткие переменные из ее терм-множества - непрерывными нечеткими числами.

Примером нечисловой лингвистической переменной может служить переменная СЛОЖНОСТЬ, которая формализует понятие «сложность разработки», со значениями НИЗКАЯ, СРЕДНЯЯ, УМЕРЕННАЯ, ВЫСОКАЯ.

К функциям принадлежности нечетких чисел обычно предъявляется ряд требований, которые обсуждаются дальше.

Пусть U={и}, V={v} — два универсальных множества; F(U) -система всех нечетких множеств, заданных на U. Используя данные обозначения, определяем три типа функций:

четкая функция нечеткого аргумента

H1:F(U)→V,

нечеткая функция четкого аргумента

H2:U→F(V),

нечеткая функция нечеткого аргумента

H3:F(U) →F(V).

1.7. Арифметические операции над нечеткими числами

1.7.1. Принцип обобщения.

Как мы уже говорили, под нечетким числом здесь будем понимать нечеткое множество с областью определения в виде интервала действительной оси R1. Множество всех нечетких чисел, определенных на R1, обозначим через 1. Пусть А и В — два нечетких числа с носителями SА= (а1, а2) и SB = (b1, b2) соответственно; a2>a1, b2>b1; g:R1×R1→R1 — некоторая функция. Тогда согласно принципу обобщения нечеткое число D=g(A, В) определяется функцией принадлежности

(1.1)

Пусть - одна из четырех арифметических операций: +, —, •, /;

g(а,b)=a b. Тогда (1.1) определяет результат арифметической операции над нечеткими числами А и В. Если g(• ) — функция не двух, а п аргументов, то принцип обобщения формулируется аналогично (1.1).

Первоначально принцип обобщения был введен как некоторый эвристический прием. Потом он был получен дедуктивно, а его физический смысл был объяснен в рамках вероятностной интерпретации функции принадлежности, в соответствии с которой

μD(x)=Р(x D).

Носитель SD нечеткого числа D можно найти по правилам интервальной арифметики, так как из (1.1) следует, что

SD={x : x=a b, a SA, b SB}.

Очевидно, что в множестве SA×SB для любого xSASB, где операция над носителями нечетких чисел А и В выполняется по правилам интервальной арифметики, существует бесконечно много пар (а, b), таких, что х=а b. Поэтому μD(х) как P(х D)) зависит от того, какая именно пара чисел (а, b) была предъявлена. Пусть (а', b'), (а", b") — две такие пара. Их предъявления субъекту — несовместимые события, а величины μА(а')μВ(b') и μА(а")μВ(b") - условные вероятности. Например,

μА(а')μВ(b') =P(x D| субъекту предъявленны а' и b')≠Р(х В)

при условии, что процессы отнесения а' к А и b' к В независимы.

Таким образом, для того чтобы ответить на вопрос, какова вероятность P(xD), а значит, и степень принадлежности μD(х), необходимо знать, как именно получен элемент х (или какая именно пара чисел (а, b) была предъявлена). Возможные две ответа на этот вопрос. Первый из них связан с определением μD(x) на основе измерения и использования плотностей вероятности fА(а), fB(b) предъявления элементов а и b субъекту. Если определить данные плотности вероятности по какой-то причине невозможно, то результат операции А В можно получить с учетом следующих соображений.

При любых распределениях вероятностей fА(а) и fB(b)

(1.2)

Величина p=μА(а)μВ(b) может рассматриваться как вероятность того, что одновременно а будет отнесено к А и b — к В (считая а и b предъявленными), только если эти отнесения независимы. В общем случае (при наличии зависимости) величина р может быть и выше, но

(1.3)

так как μА(а') и μВ(b') будут представлять собой безусловные вероятности в зависимых процессах отнесения.

Из (1.2) и (1.3) заключаем, что в общем случае величину

можно рассматривать как верхнюю оценку для μD(x) в (1.1) — когда неизвестны ни распределения вероятностей на SA, SB, ни вид зависимости процессов отнесения аргументов к нечетким числам А и В. Из (1.2) следует, что принцип обобщения (1.1) может быть определен также выражением

(1.4)

Для его использования обязательно упомянутое выше условие независимости.

При вычислениях на основе (1.1) часто применяется разложение нечеткого множества А по системе α-уровневых множеств Аα:

(1.5)

где Аα — четкое множество {а : μА (а)≥ α}; αАα-нечеткое множество

{( α, а) :а Аα).

Доказано, что для любой непрерывной функции

f:R1×R1→R1

высказывание

(1.6)

справедливо, если и только если дополнения SA и SB компактны, а μА(а) и μB(b) полунепрерывные сверху. В частности, при этих условиях из (1.6) получаем

(А + В)α=Аα + Вα;

( А·В)α= Аα·Вα.

Рассмотрим пример выполнения арифметических операций над дискретными (|SA |, | SB |<∞) нечеткими числами А и В. Пусть

А = {0,1/5; 0,8/6; 0,4/7},

В = {0,2/4; 0,9/5; 0,3/6}.

Тогда согласно (1.1)

А + В = {0,1/9; 0,2/10; 0,8/11; 0,4/12; 0,3/13};

АВ= {0,1/20; 0,2/24; 0,1/25; 0,2/28; 0,8/30;

0,4/35; 0,3/36; 0,3/42}.

Пример арифметических операций над непрерывными нечеткими числами А и В (|SA |= | SB |= |R1|) приведен на риc. 1.6.

Рис. 1.6. Примеры арифметических операций над непрерывными

нечеткими числами А и В

1.7.2. Свойства арифметических операций.

Впервые анализ свойств арифметических операций над нечеткими числами проведен Мазумото и Танака, которые рассмотрели свойства выпуклости и нормальности результатов операций и показали, что:

а) нечеткое число не имеет противоположного и обратного чисел и

б) сложение и умножения коммутативны, ассоциативны и в общем случае недистрибутивны.

Доказано, что если в (1.1) нечеткие числа А, В и D такие, что

A(B + D)=AB+AD,

то при определении (1.4)

AB+ADA(B+D).

В ряде работ показано, что при сложении большого количества одинаковых нечетких чисел результат, полученный на основе (1.1), нечувствителен к виду функции принадлежности исходного нечеткого числа, в то время как при определении (1.4) форма функции принадлежности результата зависит от формы исходной функции принадлежности.

Существуют возможность построения математических моде­лей систем с использованием лингвистических переменных и обычных арифметических операций. Математической основой для построения таких моделей является алгебра нечетких чисел.