Дискретно-непрерывная математика (стр. 57 )

Утверждение 2. Факторы главного ряда являются или 0-простыми полугруппами, или полугруппами с нулевым умножением.

Доказательство. Так как К (S) — всегда простая полугруппа, полугруппа Fn+k = К (S)0 будет 0-простоя. Пусть для j = 1, ..., п К есть ненулевой идеал полугруппы S/Ij, содержщийся в Fj = Ij-1/Ij, и пусть η: S→→S/Ij — канонический эпиморфизм. Тогда η-1(К)-идеал полугруппы S, содержщийся в Ij-1 и Ij - собственное подмножество идеала К. Следовательно, η-1(К)= Ij-1 и К = Fj. Поэтому Fj не содержит собственных идеалов полугруппы S/Ij, отличных от {0}. Но тогда Fj будет 0-минимальным в S/Ij, откуда следует, что Fj — или 0-простая полугруппа, или полугруппа с нулевым умножением.

Определение 4 (Грина). Пусть S — полугруппа. Для элемента s S равенства L(s) = S1s, R(s) =sS1 и J(s) = S1sS1 являются соответственно главным левым идеалом, главным правым идеалом и главным идеалом, порожденными s.

Определим бинарные отношения F, L, R, H и D на S следующим образом:

1) s1Fs2 тогда и только тогда, когда J (s1) = J (s2),

2) s1Ls2 тогда и только тогда, когда L (s1)= L (s2),

3) s1Rs2 тогда и только тогда, когда R (s1) = R (s2),

4) s1Hs2 тогда и только тогда, когда s1Ls2 и s1Rs2,

5) s1Ds2 тогда и только тогда, когда существует s S, такой, что s1Ls и sRs2 или, что является эквивалентным (см. пункт з) утверждения 3), тогда и только тогда, когда существует элемент t S, такой, что s1Rt и tLs2.

Утверждение 3. а) L, R, F и H — отношения эквивалентности на полугруппе S. Мы обозначим через Ls, Rs, Js и Hs соответственно L, R, F и H классы эквивалентности, которые содержат элемент s.

б) L — правоинвариантное отношение;

в) R — левоинвариантное отношение;

г) s1Fs2 тогда и только тогда, когда существуют элементы х, у, z, w S1, такие, что xs1y = s2 и zs2w = s1;

д) s1L s2 тогда и только тогда, когда существуют элементы х, у S1, такие, что xs1 = s2 и ys2 = s1;

е) s1 R s2 тогда и только тогда, когда существуют элементы х, у S1, такие, что s1x = s2 и s2y = s1;

ж) s1Ds2 тогда и только тогда, когда существуют элемент sS и элементы х, у, z, w S1, такие, что xs1 = s, ys = s1, sz = s2, s2w = s.

з) D = L • R = R • L, поэтому D = LUB (L, R) (см. пример 4 из микромодуля 7).

Доказательство. Утверждения пунктов а)-ж) проверяются легко. Для доказательства пункта з) достаточно показать, что L • R R • L , так как тогда R • L = R-1 • L-1 = (L • R)-1 ( R • L)-1 = L-1 • R-1 =L• R и поэтому L• R=R •L . Для того чтобы доказать, что L• R R •L, выберем элементы s1s2 S, такие, что s1(R• L)s2.

Тогда для некоторого элемента s S s1Ls и sR s2, поэтому существуют элементы w, х, у, z S1, такие, что ws1 = s, xs= s1, sy = s2 и s2z=s. Пусть a=s1y=xsy=xs2. Но поскольку отношения L и R правоинвариантно и левоинвариантно соответственно, из s1Ls вытекает, что а = s1y L sy = s2 и из s R s2 вытекает, что s1 = xs R xs2 = a. Значит, s1 (R • L) s2.

Определение 5. Пусть S — полугруппа. Определим следующие отношения порядка на F, R и L классах полугруппы S:

а) Jа ≤Jb тогда и только тогда, когда J (а) J (b);

б) Ra ≤ Rb тогда и только тогда, когда R (a) R (b);

в) La ≤ Lb тогда и только тогда, когда L (a) L (b).

Эти отношения порядка рефлексивны, антисимметричны и транзитивны.

Замечание 3. Отметим, что идеал І представляет собой объединение главных идеалов и объединение непересекающихся F классов J. Действительно, если a J I и b J, то существуют элементы х, у S1, такие, что b = xay S1IS1 =I. Следовательно, J I. Если J I, то идеал, порождаемый J, содержится в I. Следовательно, F класс J порождает идеал I тогда и только тогда, когда J ≥ J' для всех F классов J' I.

С каждым F классом J полугруппы S можно, естественно, связать полугруппу J0, реализуемую следующим образом. Определим В(J) как объединение всех F классов, строго меньших, чем J. Или В (J) = , или В (J) есть идеал полугруппы S. В обеих случаях S1JS1 — В(J)= J, поэтому определена фактор-полугруппа J0 == S1JS1/ В (J). [В случае, когда В (J) = , имеем J = R (S), поэтому J 0= R (S)0 есть полугруппа.] Следовательно, J0 = (J {0}, ), где

Утверждение 4. а) Пусть I1 и I2 - идеалы полугруппы S и I2 является максимальным идеалом, который содержится в I1. Тогда множество I1— I2 есть в точности один F класс полугруппы S. Следовательно, I1/I2 = J 0.

б) Факторы каждого главного ряда полугруппы S являются в точности полугруппами вида { J 0 : J есть F класс полугруппы S}.

в) Если J есть F класс полугруппы S, то полугруппа J0 будет или 0-простоя, или полугруппой с нулевым умножением.

Доказательство. а) Очевидно, что I1— I2 есть объединение F - классов. Пусть J — минимальный из них в I1 — I2. Покажем, что J I 2 есть идеал полугруппы S.

Имеем S1JS1 = J В(J) и В (J) I2, так как J — минимальный в I1— I2. Следовательно, S1JS1=J В (J) J I 2, поэтому множество J I2 представляет собой идеал полугруппы S, который содержится в I1 и который включает как собственное подмножество идеал I2. Следовательно, I1 = I2 J. Пункт а) полностью доказан.

б) Воспользовавшись результатом пункта а), мы видим, что каждый главный ряд получается следующим образом. Выбираем любой максимальный F класс J1 в полугруппе S. Обозначим I1=S—J1. Выбираем любой максимальный F класс J 2 полугруппы S, содержащийся в I1. Положим I2 = I1 — J2 и т. д. Каждый F класс полугруппы S будет при соответствующих обстоятельствах выбран таким способом. Это доказывает пункт б).

Доказательство пункта в) вытекает из пункта б) и утверждения 2.

Определение 6. Пусть J некоторый F класс полугруппы S. Назовем J регулярным F классом полугруппы S тогда и только тогда, когда полугруппа J0 является 0-простой. Назовем J нулевым F классом тогда и только тогда, когда J0 есть полугруппа с нулевым умножением.

Замечание 4. Так как факторы главного ряда полугруппы S оказываются в точности полугруппами вида J0, получающимися из F классов полугруппы S, было бы полезным исследовать строение F классов полугруппы S.