Дискретно-непрерывная математика (стр. 32 )

a0↔P0,

a1↔P3,

a2↔P4.

Это соответствие сохраняет умножение в следующем смысле. Если какой-либо элемент в левом столбце может быть записан в виде произведения двух элементов (конечно, того же левого столбца), например, а0а1=а1 или а1а1=а2 или а1а2=а0, и если мы каждый элемент полученного равенства заменим соответствующим элементом правого столбца, то равенство останется справедливым.

Мы видим, что группы R3 и А3 хотя и состоят из элементов различной природы (одна группа состоит из поворотов треугольника, а другая из подстановок цифр), но устроены они одинаково: таблицы умножения этих групп отличаются лишь обозначениями и, следовательно, заменой обозначений, т. е. переименованием элементов, они могут быть приведены к одинаковому виду. Такие группы, которые при надлежащем выборе обозначений элементов таблицы умножения оказываются тождественными (одинаковыми), называются изоморфными группами.

Обычное понятие изоморфизма высказывают в немного отличной форме. Дело в том, что «переименование» элементов в таблице умножения, о котором шла речь в нашем определении изоморфизма, в сущности говоря, сводится к установлению взаимно однозначного соответствия между элементами двух групп. Мы теперь приведем определение изоморфизма, которое непосредственно исходит из понятия взаимно-однозначного отображения.

Определение I. Пусть дано взаимно-однозначное соответствие

g↔g'

между множеством всех элементов группы G и множеством всех элементов группы G'. Мы скажем, что это соответствие есть изоморфное соответствие (или изоморфизм) между двумя группами, если выполнено условие сохранения умножения, гласящее:

которое бы не было соотношение вида

g1• g2=g3

между элементами одной группы, например, G, соотношение, получаемое при замене элементов g1, g2, g3, группы G соответствующими им в группе G' элементами g'1, g'2, g'3 также оказывается справедливым:

g'1• g'2 = g'3.

Определение II. Две группы называются изоморфными, если между ними возможно установить изоморфное соответствие.

Примечание. Если требовать, чтобы всегда из равенства

g1• g2 = g3 (в группе G)

следовало равенство

g'1• g'2 = g'3

для элементов группы G', соответствующих элементам g1, g2, g3, то имеет место и обратное, а именно:

если для каких-либо трех элементов g'1, g'2, g'3 группы G' имеет место соотношения

g'1• g'2 = g'3,

это для элементов gl, g2, g3 группы G, соответствующих элементам g'1, g'2, g'3, также выполнено соотношение

g1• g2 = g3 (2.15)

В самом деле, если бы соотношение (2.15) не имело места, то было бы

g1• g2=g4≠ g3.

В силу взаимной однозначности соответствия между G и G' элементу группы g4 соответствует в группе G' элемент g'4≠ g'3 и в силу нашего предположения из

g1• g2 = g4

должно вытекать

g'1• g'2= g'4

вопреки потому, что

g'1• g'2= g'3

Теорема. При изоморфном отображении

g↔g'

группы G на группу G' нейтральному элементу одной группы соответствует нейтральный элемент другой группы, и всякой паре взаимно обратных элементов одной группы соответствует парa взаимно обратных элементов другой группы.

В самом деле, пусть g0 - нейтральный элемент группы G, и пусть ему при данном изоморфном соответствии между группами G и G' соответствет элемент g'0 группы G'. Докажем, что g0 есть нейтральный элемент группы G'. В самом деле, так как g0 — нейтральный элемент группы G, то имеем для произвольного элемента g той же группы

g• g0=g;

в силу изоморфности отображения g↔g' имеем:

g'• g'0 = g',

откуда и следует, что g'0 есть нейтральный элемент группы G'.

Пусть g1и g2 - пара обратных элементов в группе G:

g1 • g2 = g0

(где g0 по-прежнему — нейтральный элемент группы G).

Отсюда

g'1• g'2= g'0

Так как g'0 — нейтральный элемент группы G', то g'1 и g'2 взаимно обратны.

Примеры.

1) Показать, что группа, которая состоит из двух элементов а0 и а1 с таблицей умножения

изоморфна группе поворотов отрезка (вокруг его середины).

2) Доказать, что все группы порядка 2 изоморфны между собой.

3) Доказать, что все группы порядка 3 изоморфны между собой.

Решение. Пусть а0, а1, а2 — элементы группы; пусть а0 — единичный элемент. Тогда

а0 • а0 = а0; а• а1 = а1; а0• а2 = а2.

Не может быть, чтобы а1• а1 = а1, так как тогда а1= а0.

Итак,

а1• а1 = а2

Аналогично,

а1• а2 ≠ а2 и а1• а2 ≠ а1.

Следовательно,

а1• а2 = а0.

Таким же точно образом заключаем, что

а2• а1 = а0.

Наконец, поскольку

а2• а2 ≠ а2 (так как тогда имели бы а2 = а0)

и

а2• а2 ≠ а0 (так как а1• а2 = а0),

то

а2• а2 = а1.

Итак, для группы порядка 3 возможна лишь одна таблица умножения, а именно:

Таорема Кэли. Докажем следующую теореме, которую сформулировал Кэли.

Теорема. Всякая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок.

Доказательство. Пусть G — конечная группа, п — ее порядок, a1, a2, ..., ап — ее элементы, среди них а1 — нейтральный элемент.

Напишем для каждого і=l, 2, ..., п

а1• аі, а2• аі,..., an• ai.

Все эти элементы различны; число их равно п; значит, это суть те же элементы а1, а2, ..., ап, но только записанные в другом порядке, а именно: пусть

а1• аі= , а2• аі= ,..., an• ai= .

Итак, элементу аі соответстует подстановка

Рі= =

или подстановка

Р′и= ,

отличающаяся от подстановки Pі только тем, что в Pі переставляются элементы группы G, а в Р′и — взаимно однозначно соответствующие этим элементам их номера.

Если i≠k, то Рі≠Рk, так как в подстановке Pі под элементом а1 расположен а1• аі= , а в подстановке Pk под элементом а1 расположен а1• ak=ak, аk≠аі.

Итак, имеем взаимно-однозначное соответствие между элементами а1, а2, ..,, ап группы G и подстановками Р1, Р2, ..., Рп.

Теперь нужно доказать, что во-первых, подстановки Р1, Р2, ..., Рп образуют группу по отношению к обычному умножению подстановок и, во-вторых, что эта группа изоморфна группе G.

Заметим прежде всего:

I. Среди подстановок Р1,Р2,...,Рп содержится тождественная подстановка.

В самом деле, так как а1 есть, по предположению, нейтральный элемент группы G, то подстановка

Р1=

есть тождественная подстановка.

Далее докажем: если ah=aі• ak, то Ph=Pі• Pk.

Сначала заметим, что

и

представляют два записи одной и той же подстановки Pk; в самом деле, обе записи означают, что каждому элементу а группы G ставится в соответствие элемент a• ak той же группы.

Итак, мы можем записать

Заметив это, видим, что подстановка

Рі• Рk=

= •

на основании общего oпределения умножения подстановок тождествена с подстановкой

Но если ai• ak = ah, тo

=Ph,

т. е.

Pі• Pk = P h

Только что доказанное можно сформулировать так:

ІІа. Произведению двух элементов группы G соответствует произведение подстановок, соответствующих этим элементам.

Отсюда следует:

ІІb. Произведение любых двух из числа подстановок P1, Р2, ..., Рп есть одна из подстановок P1, Р2, ..., Рп.

Рассмотрим подстановку Pi, элемент аi и элемент ai-1=ak. Так как aі• ak =a1, то по только что доказанному PіPk = P1; но Р1 есть, как мы видели, тождественная подстановка, поэтому Pk = Pi-1.

Итак, мы доказали еще одно утверждение.

III. Подстановка Pi-1 для любого i=1, 2, ..., п есть одна из подстановок Pl, P2, ..., Рп.

Из ІІb, I и III следует, что совокупность подстановок Р1, Р2, ..., Рп есть группа при обычном определении умножения подстановок. Из ІІа следует, что эта группа изоморфна группе G.

Теорема Кэли, таким образом, доказана.

Циклические группы

Пусть а — произвольный элемент группы G. Умножим его на себя, т. е. возьмем элемент а•а. Этот элемент обозначим через а2. Точно так же обозначим а•а•а через а3 и вообще положим

= ап.

Рассмотрим, далее, элемент а-1 и обозначим последовательно