Дискретно-непрерывная математика (стр. 119 )

Для объединения моноидов свойство замкнутости относительно операции * в общем случае не выполняется.

Нечеткие группы. Можно задать следующий вопрос: существуют ли реально группы, которые являются нечеткими (необычными), если рассматривать операции , ,·, , ?

Известно, что группа представляет собой моноид, в котором для каждого элемента существует и при том единственный обратный элемент.

Дальше мы покажем, что необходимое условие для того, чтобы моноид ( (Е), *) имел групповую структуру, состоит в том, чтобы М =[0, 1] было наделено групповой структурой для операции, соответствующей *. Более того, мы увидим, что в любом случае М=[0, 1] можно наделить групповой структурой с помощью некоторой операции °.

М = [0, 1] можно рассматривать как векторную решетку, которая состоит из единственной цепи, образующей полный порядок. Рассмотрим операции (минимум), (максимум), • (произведение), (алгебраическая сумма), (дизъюнктивная сумма). Каждая из этих операций ассоциативна и для каждой существует единица, роль которой, в зависимости от случая, играет 0 или 1; однако почти одинаково для каждого случая легко доказать, что для каждой из этих операций не существует обратных элементов. Мы сделаем это для oпeрації . Рассмотрим пару (а, b) М×М, где М = [0, 1] и 0<а < b < 1. Единицей для операции служит 1. Существует ли такое а или b, что

а b=1?

Нет, не существуют, поскольку

а b = а < 1.

С другой стороны, если мы возьмем М={0, 1} , то обнаружим, что групповая структура возможна.

Это не группа. Это не группа. Это группа. Это группа.

Есть единичный Есть единичный Есть единичный Есть единичный

элемент 1, но 0 элемент 0, но 1 элемент 0, 0 есть элемент 1, 0

не имеет не имеет обратный есть обратный

обратного обратного элемент 0, 1 элемент 0, 1

элемента: элемента: есть обратный есть обратный

элемент 1. элемент 1.

0 0=0, 0 0=0,

0 1=0, 0 0=1,

1 0=0, 1 0=1,

1 1 = 1. 1 1=1.

Рис. 3.31. Рис. 3.32. Рис. 3.33.

Так, на рис. 3.33 мы показали, что относительно операций или группа не получается (и, следовательно, не получается группа относительно каждой из операций • и , которые в булевом случая дают эквивалентные операции). И, наоборот, получаем группу, если берем операцию . Группа получится и в том случае, когда рассматривается операция (инверсная дизъюнктивная сумма). Отметим, что две группы и оказываются изоморфными в результате перестановки элементов 0 и 1. Эти группы различаются по фактической реализации, но как абстрактные группы они одинаковы.

Отсюда следует, что если рассматривать каждую из операций

, ,·, , и М= [0, 1], то на ( (Е), *) нельзя определить групповую структуру.

Для М = {0, 1} группу можно образовать только с операцией (или, что то же, с). В качестве примера рассмотрим обычную группу, образованнуь таким образом на

Е = {х1, х2, х3}.

Если для упрощения записи положим

abc = { (x2|a), (x2|b), (x3|c)}

и при этом

а, b, c {0, 1},

тo получим группу, представленную на рис. 3.34. Единицей здесь служит элемент 000, и каждый элемент abc сам себе служит обратным. Эта группа изображена на рис. 3.35, где бинарные переменные abc заменены соответствующими им десятичными числами. На рисунке отчетливо видны некоторые свойства (подгруппоидов, латинских квадратов и т. д.), общие для этих групп, построенных с дизъюнктивной суммой .

Рис. 3.34. Рис. 3.34.

Позже мы возвратимся к тому, что связано со структурами или конфигурациями множеств приналежностей М, какие мы обобщим, изучая другие вполне упорядоченные конфигурации для М.

3.20. Нечеткая внешняя композиция

Пусть E1, Е2 и Е3— три множеств. Если каждой упорядоченной паре ( , ), Е1, Е2 можно поставить в соответствие одно и только одно подмножество E3, то это соответствие называется законом нечеткой внешней композиции при условии, что Е3 ≠ Е1 или (и) Е3 ≠Е2. Если Е3 = Е2 = Е2, то закон внутренний.

Пример 1 — чисто дискретный. Пусть

Е1 = {А, В, С}, card Е1 = 3;

М1 = {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1}, card М1 = 5;

Е2 = {а, b, с, d}, card E2 = 4;

М2= {0, 1/2, 1}, card M2 = 3;

Е3 = {α, β}, card E2 = 2;

М3 = {0, 1/3, 2/3, 1}, card M3 = 4.

Пусть Е1 и Е2; каждой упорядоченной паре ( , ) поставим в соответствие одно и только одно подмножество E3 с помощью таблицы. А именно, пусть

= { (А|1/4), (В|1/2), (С|1)} обозначается (1/4, 1/2, 1), (3.34)

={(а|0), (b|1/2), (с|0), (d|l)} обозначается (0, 1/2, 0, 1). (3.35) Предположим, что таблица этим двум подмножествам ставит в соответствие третье подмножество

= { (α |1/3), (β |1)} обозначается (1/3, 1).

Таблица будет содержать 53 × 34 = 125 × 81 случаев. На рис. 3.36. приведен небольшой фрагмент этой таблицы.

Рис. 3.36

Пример 2. Рассмотрим предыдущий пример для закона

(α )= [ (х) (y)] (3.36)

(β) = [ (х) (y)]. (3.37)