Дискретно-непрерывная математика (стр. 88 )

будет изоморфизмом.

б) Пусть (J, Gl, N1) принадлежит S. Рассмотрим гомоморфизм φ: Пусть G2F G1. Выберем ядро гомоморфизма φ относительно G2, (J, G2, N2).Тогдато

Если то

Доказательство, а) Здесь все очевидно.

Предположим, чтоТогда

Рассмотрим N1e2. Пустьгде

и поэтому N1e2 N2. Аналогично

N2e1 N1; поэтому N1e2 = N2 и N2e1=N1. В случае, когда G1L G2, доказательство проводится аналогично.

3.31. Определение. Пусть задана тройка (J1, G1, N1) для полугруппы S и

Предположим, что J2 — регулярный F класс полугруппы S и G2 — максимальная подгруппа в J2. Пусть 1 G2 есть единица группы G2. Определим

Очевидно, что

3.32. Замечание. Можно дать иное описание для N2 = ker [(J1, G1, N1), (J2, G2)]. Пусть X равно множеству L классов, принадлежа­щих образу в полугруппе GM (J1, G1, N1). Тогда G2 будет группой операторов множества X, т. е. если положить по определению

Пусть R = Х∙1 (заметим, что X∙g= К для всех элементов gG2). G2 перестав­ляет R, т. е. пара (R, G2) есть (не обязательно точная) группа прео­бразований. R называется областью определения для G2.

Теперь X будет множеством отождествленных [при отображении

классов из J01 и R есть под­множество таких L классов, которые G2 переставляет. Рассмотрим го­моморфизм φ группы G2, который делает действие G2 на R точным. Легко видеть, что

Следовательно, есть такая часть

группы G2, при исключении которой все еще известно, как G2 дейст­вует на свою область определения R в множестве отождествленных L классов из J01.

Эти понятия будут применяться далее.

3.33. Утверждение. Пусть J0 — 0-простая полугруппа и X—мно­жество. Предположим, что (X, J0) есть (не обязательно точная) полу­группа преобразований. Пусть G1 и G2 —максимальные подгруппы в J. Тогда G1 и G2 действуют на X. Пусть

— области определения и транзитивные компоненты групп G1 и G2 соответственно. Пусть — единицы G1 и G2.

а) Если то группы G1 и G2 имеют одинаковые области опреде­ления и транзитивные компоненты. Пусть R — область определения (или транзитивная компонента) группы G1, пусть N1G1, такой, что фактор-группа G1/N1 действует точно на R. Тогда действует точ­но на R, и наоборот.

б) Если , то области определения и транзитивные компоненты групп G1 и G2 находятся во взаимно однозначном соответствии. На са­мом, деле,

Пусть R — область определения (или транзитивная компо­нента) группы G1 и, такой, что G1/N1 действует точно на R. Тогда G2/N1e2 действует точно на Re2, и наоборот.

Доказательство. Аналогично

R2 R1, так что R1 = R2. Пусть R1i — транзитивная компонента группы G1. Тогда существует элемент х R1i, такой, что Но поэтому Следовательно, каждая транзитивная компонента группы G1 будет также транзитивной компонентой группы G2, и наоборот.

Пусть N2 — нормальный делитель группы G2, делающий действие G2 на R точным. Теперьдля всех г £ R), i = 1,2.

Пусть

Запишем для всех r R, поэтому Аналогично так что

б) В этом случае

Пусть R2i — транзитивная компонента группы G2. Пусть xR1.Тогда хе2 R2. Определим Теперь. Аналогично R2i=R1ie2. Пустьдля всех rR} и для всех rR}. Положим тогда hN1e2, так что h=ge2, где g N1.

Тогда поэтому Аналогично N2e1N1, поэтому N1e2 = N2 и N2e1 = N1.