Дискретно-непрерывная математика (стр. 90 )

Определим полагая θb (S) = числу собственных

гомоморфизмов вида в последовательности.

в) Рассмотрим последовательность

(в)

Определим полагая θc (S) = числу собственных го-

моморфизмов в последовательности.

г) Рассмотрим последовательность

(г)

Определимполагая θd(S)= числу собственных гомомор-

физмов вида Т →→TRLM в последовательности.

д) Рассмотрим последовательность

(д)

Определим полагая θe(S)= числу собственных

гомоморфизмов в последовательности.

е) Пусть (GM)i и (RLM)i обозначают GM и RLM полугруппы соот­ветственно. Рассмотрим все последовательности вида

(е)

Назовем нормой каждой последовательности наибольшее целое число п, такое, что Определим полагая

θj(S)= максимуму норм всех таких последовательностей.

ж) Определим полагая θg(S)= наибольшему целому п, такому, что существует последовательность троек

для S, удовлетворяющая следующим трем условиям

з) Разложением E для полугруппы S называется функция, кото­рая ставит в соответствие каждому набору

непустое множество наборов:

где

и

для каждого αА. Мы будем писать (см. замечание 2.27, где имеются примеры разложений).

Пусть E —разложение полугруппы S. Определим полагая наибольшему целому п, такому, что существует по-

следовательность удовлетворяющая следующимтрем условиям:

Тогда есть член некоторого набора разложения E:

Определяемого

для некоторого αА и некоторого j, такого, что 1≤ j≤ α (i+ 1);

и) Говорят, что полугруппа S имеет тип I, если не

делит SC—максимальный комбинаторный образ полугруппы S. Оп­ределим полагая θi(S)= длине наибольшей (в смысле числа членов) последовательности подполугрупп

полугруп­пы S, удовлетворяющей следующим условиям:

1) T1 — некомбинаторная полугруппа типа I;

2) Tj— некомбинаторная подполугруппа типа I полугруппы IG(Tj-1) для j = 2, ..., п;

3) IG (Тп) — комбинаторная полугруппа.

к) Пусть Пусть обозначает кольцо характеров полугруппы S ад полем комплексных чисел С. Все рассматриваемые представления ко­нечномерные. Пусть обозначает полное множество неэкви­валентных ненулевых неприводимых комплексных представлений по­лугруппы S. Пусть — соответствующий характер. Тогда, как известно, определено взаимно однозначное соот­ветствие

образуют базис векторного простран­ства:

Роудз доказал, что есть GGM полугруппа и, следовательно, можно рассмотреть гомоморфизм RLMRj, или

Пусть L1, .... Ln — совокупность L классов, содер­жащихся в отмеченном F классе полугруппы Для элемента s S пусть М (s) обозначает п×п матрицу с коэффициентами из мно-жества {0,1}, определяемую следующим образом:

Очевидно, что тогда и только тогда,

когда Определим , полагая что равно числу различных Li, так что есть характер матричного представления М и, следо­вательно,

где mij — целые неотрицательные числа.

Пусть — линейное преобразование, определяемое формулой

Положим Пусть

— линейное преобразование, индуцированное А. Роудз показал, что В нильпотентно.

Определим полагая θj (S) = индексу В при обычном

условии, что индекс равен нулю тогда и только тогда, когда

и наименьшему положительному целому числу п, такому, что Вп = 0 в противном случае.

2.5. Теорема. Пусть L — совокупность всех конечных полугрупп, являющихся объединением групп, а — совокупность всех GM по­лугрупп. Тогда групповая сложность есть (единственная) функция, представляющая собой G сложность для L относительно Обозначая как G, получаем