Дискретно-непрерывная математика (стр. 101 )

Если имеет место случай 1, то

откуда следует, что

Но будет комбинаторной, так как J3 — группа, поэтому

будет комбинаторной. Это противоречие. Если справедлив случай 3, то отображение будет гомоморфизмом полугруппы T на Т′≤С′, который разделяет L классы ядра К(Т). Следовательно, . Это противоречие. В случае 2 предлагаем читателю, используя структуру матрицы С, доказать, что р1[К (Т)] является подполугруп­пой в Следовательно, заключаем, что р1 (T) представляет собой подполугруппу полугруппы, которая есть объединение групп, с двумя F классами D1 и D2, где Затем пока­жите, что р1 (Т) | C1wG1, где C1 — комбинаторная полугруппа, а G1 — группа. Таким образом, полугруппа поэтому является

комбинаторной. Это противоречие.]

2. Пусть Z+ — полугруппа целых положительных чисел по сло­жению. Покажите, что существует такой гомоморфизм что любая конечно порожденная полугруппа делит

[Указание. Покажите сначала, что полугруппа ∑{0, 1, ..., п} изоморфна под­полугруппе ∑{0, 1} для всех п = 1,2.....так что каждая конечно порожденная полугруппа делит ∑{0, 1}. Определите Y, положив проверьте, что отображение есть заимно однозначный гомоморфизм, где — целые положительные числа с двоичным разложением tk, ... t1.]

Микромодуль 11.

Топологические полугруппы

3.12. Начальные определения

Начало изучения топологических полугрупп следует отнести к 1950г. Первые работы по этому вопросу принадлежат профессору , который внес большой вклад в развитие теории топологических полугрупп и очертил основные направления дальнейших исследований.

Цель этого микромодуля заключается в том, чтобы познакомить читателя с некоторыми результатами и техническими средствами теории топологических полугрупп. Мы не ставили перед собой задачи дать детальный или даже подробный обзор состояния этой теории по современной литературе.

Мы включаем в изложение, возможно в несколько укороченном варианте, те доказательства, технический аппарат которых представляет практический интерес.

Много теорем, которые относятся к полугруппам, основываются на свойствах компактности, локальной компактности или дискретности.

Отметим, что всякая алгебраическая полугруппа оказывается топологической, если ввести на ней дискретную топологию (любое множество открыто). В этой топологии все функции непрерывные. В частности, конечная полугруппа будет компактной топологической полугруппой.

Поскольку при дальнейшем изложении используются некоторые факты из топологии, мы будем применять обозначение А*, А\В и □ для замыкания множества, разности двух множеств и пустого множества соответственно. Элемент х и точечное множество {х} мы не будем различать. Терминам топологии отдается преимущество перед терминами алгебры там, где из контекста не возникает недоразумений. Все рассматриваемые в этом микромодуле полугруппы будут топологическими. Многие ранее полученные результаты для конечных полугрупп распространяются на топологические полугруппы.

Когда мы говорим, что множество замкнуто, это значит, что оно замкнуто в топологическом пространстве и это не означает, что оно замкнуто относительно полугрупповой операции (т. е. есть подполугруппой).

Определение. Полугруппой называется непустое, хаусдорфовое топологическое пространство S с заданным на нем непрерывным ассоциативным законом умножения

S × S> S,

который обычно не обозначается никаким символом и записывается просто с помощью последовательного размещения элементов. S называется пространством полугруппы, и если из контекста не следует двусмысленности, связанной с законом умножения, мы говорим, что S является полугруппой.

Для подмножеств A, B S AB обозначает множество {аb|а А, b В} и А2 обозначает множество {аа'|а, а' А}. Два факта из общей топологии будут очень важны для нас в дальнейшем. Первый из них заключается в том, что произведение компактных пространств компактно, а второй — в том, что образ при непрерывном отображении компактного пространства тоже будет компактным. Так как А и В — компактные подмножества полугруппы S, то АВ — также компактное подмножество, и, в частности, если множество А компактно, то для любого элемента x S xА и Ах тоже компактны.

В топологии гомеоморфизмом называется взаимно однозначное сюръективное непрерывное отображение, обратное к которому также

неспрерывно. Для полугрупп изеоморфизмом будем называть отображение, что является гомеоморфизмом пространств и изоморфизмом соответствующих алгебраических полугрупп.

Минимальный идеал полугруппы S, как правило, обозначается символом К(S). Для компактной полугруппы S К(S) существует и его построение полностью известно. На языке алгебраических полугрупп К(S) есть полностью простым. В частности, К(S) компактен и представляет собой дизъюнктивное объединение семейства компактных групп (см. теорему 8).

Множество всех идемпотентов полугруппы S, как правило, обозначается символом Е(S). Подгруппой полугруппы S называется подмножество G в S, которое является группой (в алгебраическом смысле) с операцией, унаследованной от полугруппы S. Закон умножения в подгруппе G, очевидно, будет непрерывным, и если G локально компактна, то операция взятия обратного элемента также будет непрерывной, поэтому G окажется топологической группой. Для каждого идемпотента еЕ(S) существует максимальная группа в S, единицей которой является элемент е (см. лемму 1).

Бингом называется компактная связная полугруппа, кланом называется компактная связная полугруппа (бинг) с единицей. На рис. 3.3 показанные некоторые простые примеры полугрупп с обычным для каждого примера законом умножения: действительный отрезок [0, 1], единичный круг D в комплексной плоскости и для фиксированного п ≥ 1 выпуклое подмножество в D, содержащее корни п-й степени из единицы {α1, ..., αт} (все это изображено для случая п = 3).

Рис. 3.3.

Заметим, что каждая из этих полугрупп действительно представляет собой клан.

3.13. Дуги и полугруппы

Нитью называется полугруппа, пространство которой является дугой, т. е. хаусдорфовым множеством мощности континуум, каждая точка которого разрезает само множество, а две точки, которые не разрезают множество, концевые. (Замкнутый действительный интервал [а, b] с а < b представляет собой дугу с концевыми точками а и b.) Стандартной нитью или І полугруппой называется нить, одна концевая точка которой является нулем (т. е. нулевым элементом полугруппы), а другая — единицей.

Строение нитей интересно само по себе, а также потому, что многие из известных сейчас нитей (особенно это относится к І полугруппам) лежат в бóльших полугруппах. Фосе доказад, что І полугруппа, которая не имеет внутренних (не концевых) идемпотентов, должна быть гомеоморфна действительному интервалу [0, 1]. (Однако в общем случае І полугруппа не обязательно должна быть метрической; она может быть «слишком длинной».) Фосе получил дальнейшие результаты в направлении характеристики І полугрупп, эта работа была завершена Мостертом и Шайлдзом, когда они воспользовались результатами своего исследования некоторых кланов на компактных поверхностях с границей (см. теорему 5). Клиффорд получил более общие результаты о нитях, которые полностью описывают построение нитей с идемпотентными концами, а Коэн и Вэйд охарактеризовали метризуемые нити с нулем и единицей. Одним из наиболее важных результатов относительно І полугрупп является то, что все они абелевы. Мы опишем их строение, но сперва необходимо дать некоторые определения.

Определение 1. 1) Единичной нитью называется полугруппа, изеоморфная полугруппе [0, 1] с обычным законом умножения.