Дискретно-непрерывная математика (стр. 34 )

Однако не всякая группа есть циклическая, не всякая группа порождается одним элементом — нециклические группы порождаются не одним, а с необходимостью несколькими (иногда бесконечным числом) элементами; понятию одного образующего элемента приходит на смену понятие системы образующих (очевидно, совокупность всех элементов какой-нибудь группы есть (тривиальная) система образующих этой группы. Итак, всякая группа имеет систему образующих).

Определение. Некоторое множество Е элементов группы G называется системой образующих этой группы, если всякий элемент группы G есть произведение конечного числа сомножителей, каждый из которых либо есть элемент множества Е, либо есть обратным некоторому элементу множества Е.

Микромодуль 4.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Рассмотрим все возможные повороты правильного треугольника вокруг его центра О (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

При этом мы будем считать два поворота совпадающими, если они отличаются один от другого на целое число полных оборотов (т. е. на целочисленное кратное 360°). (Так как поворот на целочисленное кратное 360, очевидно, ставит каждую вершину на ее первоначальное место, то естественно объявить такой поворот совпадающим с нулевым и вообще считать совпадающими два поворота, которые отличаются друг от друга на целое число полных оборотов). Легко видеть, что из всех возможных поворотов треугольника лишь три поворота переводят треугольник в себя, а именно: повороты на 120°, на 240° и так называемый нулевой поворот, который оставляет все вершины, а следовательно, и все стороны треугольника на месте. Первый поворот переводит вершину А в вершину В, вершину В в вершину С, вершину С в вершину А (он перемещает, как говорят, вершины А, В, С в циклическом порядку). Второй поворот перемещает А в С, В в А, С в В (т. е. перемещает в циклическом порядке А, С, В).

Пример 2. Рассмотрим совокупность четырех букв а0, а1, а2, а3, умножение которых определено следующей таблицей:

или в развернутом виде:

а0∙ a0 = а0, a0∙ al=al∙ a0 = а1,

а0∙ а2 = а2∙ а0 = а2, а0∙ а3= а3∙ а0=а3,

а1∙ a1 = а0, a2∙ a2=a0 ,

а1∙ а2 = а2∙ а1 = а3, а2∙ а3 = а3∙ а2 = а1.

а1∙ а3 = а3∙ а1 = а2, а3∙ а3 = а0.

Умножение определено для любых двух букв из числа четырех. Непосредственная проверка показывает, что это умножение удовлетворяет условию ассоциативности и коммутативности.

Буква а0 обладает основным свойством единицы: произведение двух сомножителей, из которых одно есть а0, равно другому сомножителю.

Таким образом, условия, аналогичные условиям I, II, III, V из пп. 1-2, оказываются выполненными в «алгебре четырех букв». Для того чтобы убедиться, что условие IV также выполнено, достаточно заметить, что мы положили

а0∙ а0 = а0, а1∙ а1 = а0, а2∙ а2 =а0, а3∙ а3 = а0,

т. е. каждая буква сама себе обратна (дает при умножении с самой собой единицу).

Пример 3. Некоторую «алгебру четырех букв», отличную от предыдущей, можно построить в полной аналогии с тем, что мы делали в первом примере. Рассмотрим квадрат ABCD и повороты вокруг его центра, которые переводят фигуру в самое себя. Опять будем считать совпадающими всякие два поворота, отличающиеся друг от друга на целочисленное кратное 360°. Таким образом, будем иметь всего четыре поворота, а именно: нулевой, поворот на 90°, на 180° и на 270°.

Эти повороты обозначим соответственно через а0, а1, а2, а3. Если под умножением двух поворотов понимать снова последовательное осуществление двух поворотов, то получим следующую таблицу умножения, вполне аналогичную второму примеру:

Таким же точно образом как в этом и в первом примере, можно рассматривать повороты правильного пяти-, шести - и вообще п-кутника.

Пример 4. Рассмотрим плоскость с выбранной на ней системой декартовых координат. Обозначим через G множество тех точек

Р=(х, у), обе координаты которых х и у - суть целые числа. Установим следующее правило сложения точек: суммой двух точек P1 = (x1, у1) и Р2 = (х2, у2) называется точка Р3 = (х3, у3) с координатами х3=х1+х2 и у3=у1+у2. Легко убедиться, что это определение сложения превращает множество G в коммутативную группу и что точки (0, 1) и (1; 0) составляют систему образующих этой группы.

Замечание. Читатель, знакомый с понятием комплексного числа, сразу поймет, что только что построенная группа изоморфна группе целых комплексных чисел (со сложением в качестве групповой операции). При этом комплексное число x+iy называется целым, если х и у суть целые числа.

Микромодуль 4.

Идивидуальные тестовые задачи

1. Найти произведение двух подстановок с использованием таблицы умножения (таблица 2.4).

2. Показать, что группа, которая состоит из двух элементов а0 и а1 с таблицей умножения изоморфна группе поворотов отрезка (вокруг его середины).

3. Доказать, что все группы порядка 2 изоморфны между собой.

4. Доказать, что все группы порядка 3 изоморфны между собой.

5. Доказать, что любая коммутативная группа порядка 4 изоморфна или клейновской группе, или группе поворотов правильного четырехугольника (две последние группы между собой неизоморфны; почему?).

6. Доказать, что группа всех положительных чисел (с арифметическим умножением как групповой операции) изоморфна группе всех действительных чисел (с арифметическим сложением как групповой операции).

Указание: изоморфное отображение осуществляется логарифмированием.

7. Доказать, что всякая система натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен единице, есть система образующих группы всех целых чисел.

Микромодуль 5.

Группы самосовмещений и ивариантные подгруппы

2.5. Простейшие группы самосовмещений

2.5.1. Примеры и определения групп самосовмещений геометрических фигур

1. Самосовмещения правильных многоугольников в их плоскости. Большой и очень важный класс разнообразных групп как конечных, так и бесконечных составляют группы «самосовмещений» геометрических фигур. Под самосовмещением данной геометрической фигуры F понимают такое перемещение фигуры F (в пространстве или на плоскости), которое переводит F в самое себя, т. е. совмещает фигуру F с самой собой.

Мы уже познакомились с простейшими группами самосовмещений, а именно: с группами поворотов правильных многоугольников.

Пусть дан в плоскости правильный многоугольник А0А1...Ап (рис. 2.3), например, правильный восьмиугольник А0А1А2А3А4А5А6А7 (вершины все перенумерованы подряд в одном направлении, например, против часовой стрелки).

Рис. 2.3

Требуется найти те перемещения многоугольника в его плоскости, которые совмещают его с самим собой. При этом перемещении всякая вершина многоугольника должна перейти в вершину, всякая сторона - в сторону, а центр многоугольника - в самого себя. Пусть при некотором определенном перемещении вершина A0 перейдет, например, в Аk (на рисунке k=4).

Тогда сторона А0А1 должна перейти или в сторону AkAk+1 или в сторону AkAk-1. Но если бы сторона А0А1 перешла в сторону AkAk-1, то треугольник А0А1О перешел бы в треугольник AkAk-1О. Этот последний треугольник можно было бы, передвигая его в плоскости, перевести у положение A0A1О', что является зеркальным отражением треугольника А0А1Об относительно стороны A0A1. В результате оказалось бы, что мы треугольник А0А1О перемещением в его плоскости перевели в его зеркальное отражение, а это невозможно.

Итак, сторона A0A1 должна перейти в сторону AkAk+1. Точно таким же образом мы убеждаемся в том, что сторона А1А2 переходит в Аk+1Аk+2, сторона А2А3 переходит в Аk+2Аk+3 и т. д. Другими словами, наше перемещение есть поворот многоугольника в его плоскости на угол k• (2π/n). Итак, мы показали, что:

а) всякое самосовмещение правильного п-угольника в его плоскости есть поворот многоугольника на угол k(2π/n), где k — целое число;

б) таким образом, самосовмещений имеется п;

в) эти самосовмещения, как мы знаем, образуют группу.

2. Самосовмещение правильного многоугольника в трехмерном пространстве. Предыдущее рассуждение существенно предполагало, что мы рассматриваем лишь самосовмещения многоугольника в его плоскости. Если бы мы рассматривали совмещения п-угольника с самим собой в пространстве, то к перечисленным поворотам прибавились бы еще «опрокидывания» многоугольника, т. е. повороты на угол 180° вокруг осей симметрии многоугольника. Осей симметрии правильный п-угольник имеет п: в случае четного п осями симметрии являются n/2 прямых, которые соединяют пары противоположных вершин многоугольника, и n/2 прямых, которые соединяют середины его противоположных сторон; в случае нечетного п оси симметрии суть прямые, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон многоугольника. Доказательство того, что п поворотами и п «опрокидываниями» правильного п-угольника исчерпываются все самосовмещения п-угольника, т. е. все перемещения его в пространстве, которые переводят многоугольник в самого себя, содержится в рассуждениях в п. 2.5.3 этого раздела.