Дискретно-непрерывная математика (стр. 65 )

Легко проверить, что эти функции определены коротко и удовлетворяют соотношению (3.7). Обратное утверждение очевидно.

б) Этот пункт является дуальным к а) и доказывается с помощью двойственных рассуждений.

в) Справедливость утверждения этого пункта вытекает из вида соотношений (3.7) и (3.8).

г) Пусть переносы α и β связаны. Рассмотрим

[(g, c, b) α] (h, a, d) = (g, c, b) [β (h, a, d)].

Из левой части соотношения получаем, что

[(g, c, b) α] (h, a, d) = (gδ (α) (b) C [ψR(α) (b), a] h, c, d),

в то время как правая часть равна (g C[b, ψL(β) (а)] λ(β)(a)h, c, d). Следовательно, α и β связаны тогда и только тогда, когда

Полугруппы RT (М) и LT (М) можно представить двумя специальными способами. Первый из них представляет RT (M) и LT (M) как матрицы, мономиальные по строкам, и матрицы, мономиальные по столбцам

Утверждение 14. Пусть М = М0 (G; А, В; С) — регулярная рисовская полугруппа матричного типа и предположим, что | А | = т и | В | = п. Тогда:

а) RT (M) RM(n, G) — п × п матрицы, над G0 мономиальные по строкам;

б) LT (M) LM (m, G) — т × т матрицы, над G0 мономиальные по столбцам.

Доказательство. а) Представим каждый ненулевой элемент (g, а, b) М как т × п матрицу с элементом g на пересечении строки а и столбца b и с нулями на всех других местах. Элемент 0М представим т × п матрицей, которая целиком состоит из нулей. Тогда каждый элемент из RT (M) легко записать как матрицу, мономиальную по строкам. Действительно пусть α RT (M), предположим, что ψR (α) и δ(α) — функции, определенные в утверждении 13.

Определим п × п матрицу, мономиальную по строкам, α*: В×В→G0, полагая

Отображение α→α* является изоморфизмом. Пункт б) доказывается с помощью дуальных соображений.

Пусть αRT (M). Из соотношения (3.7) вытекает, что действие α на

G0×А0 × В0 приводится к треугольной форме. Это позволяет надеяться, что RT(M) можно представить в виде узлового произведения.

Утверждение 15. Определим две подполугруппы

а) RT (M) изоморфна подполугруппе узлового произведения

(G0, R(G0))w(B0, S);

б) LT (M) изоморфна подполугруппе узлового произведения

(Sr, A0)w* (L (G0), G0), где символ w* обозначает узловое произведение для полугрупп левых преобразований (дуальное понятие к узловому произведению). Отметим, что действие также приводится к треугольному виду для операции w*.

Доказательство. a) (G0, R (G0))w (B0, S) (B0, G0) ×YS , где

Y : S → End L[F(B0, G0)] есть гомоморфизм, определяемый следующим образом: пусть f F (B0, G0), s S и b B0, тогда [Y(s)f](b)=f(bs).

Пусть а RT (М). Тогда отображение

α→ (δ (α), ψR (α)) F(B0, G0)×YS

будет взаимно однозначным гомоморфизмом. Проверим это. Пусть α, β RT (М), тогда

Следовательно, αβ→(δ(α)Y(ψR(α))δ(β), ψR(α)ψR(β)) и отображение является гомоморфизмом. Так как задание отображений δ и ψR полностью определяет правый перенос, отображение будет взаимно однозначным. Пункт б) доказывается посредством дуальных рассуждений.

Замечание 14. В замечании 12 был предложен способ построения из заданных полугрупп некоторых новых полугрупп. Использованный прием оказывается довольно удобным для построения примеров. Пусть Т (вершина), В (основание) — две полугруппы и мы хотим сформировать новую полугруппу (Т В, •) = S (дизъюнктивное объединение), где t• b В і b• t В для всех элементов t Т, b В (следовательно, имеется некоторое описание) и множества Т и В—подполугруппы S. Закон умножения в новой полугруппе должен быть ассоциативным, поэтому он должен выполняться для следующих восьми множеств: 1) ТТТ,2) ВОВ, 3) ТТВ, 4) ВТТ, 5) ВВТ, 6) ТВВ, 7) ВТ В и 8) ТВТ.

Так как мы требуем, чтобы Т и В были подполугруппами полугруппы S, пункты 1 и 2 выполняются. Так как t• b В и b• t В, можно определить функции φL: Т → Fl (B) и φR : Т → FR (B). Определим тогда t • b = φL (t) b и b • t = b φR (t). Для того чтобы выполнялись пункты 3 и 4, функции φL и φR должны быть гомоморфизмами. Для выполнения пунктов 5 и 6 мы должны потребовать, чтобы φL (Т) LT (B) и φR (Т) RT (B). Для выполнения пункта 7 φL(t) и φR (t) должны быть связаны при всех t Т, а для выполнения пункта 8 φL(Т) и φR (Т) должны коммутировать.

Если B — полугруппа с нулевым умножением (как в замечании 12), то пункты 5—7 выполняются автоматически. Один со способов удовлетворить пункту 8 заключается в том, чтобы для всех b В существовало равенство φL(t)b=bφR(t) при всех t Т. Отметим, что в этом случае полугруппы φL(Т) и φR (Т) будут коммутативными.

Определение 12. Совокупность P конечных полугрупп называется свойством конечных полугрупп тогда и только тогда, когда из соотношений S P и T S вытекает, что Т P. Мы будем говорить, что полугруппа S имеет свойство P , если SP. P называется локальным свойством конечных полугрупп тогда и только тогда, когда из условия, что Т — конечная полугруппа, каждый главный фактор J0 которой изоморфен некоторой полугруппе SP, вытекает, что TP. Например, в силу определения 14 полугруппа S регулярна тогда и только тогда, когда каждый F класс полугрупп S регулярный. Следовательно, регулярность — локальное свойство.

Конец этого раздела будет посвящен определению и характеристике нескольких важных локальных свойств конечных полугрупп.

Определение 13. Элемент а полугруппы S называется регулярным. тогда и только тогда, когда аaSa, т. е. когда существует такой элемент b S, что