Дискретно-непрерывная математика (стр. 95 )

Теперь нетрудно убедиться, что полугруппа

изоморфна SF, так как каждое отображение в по­следовательности (в) является F гомоморфизмом. Очевидно, что Следовательно, мы объяснили диаграмму (см. рис. 3.2). Совершенно ясно, что число собственных L гомоморфизмов в по­следовательности (б) не меньше соответствующего числа в последова­тельностях (в), (г) или (д), т. е.

Но мы показали, что числа собственных L гомоморфизмов

в последовательности чередующихся γ и L гомоморфизмов для S, на­чинающейся с γ гомоморфизма и заканчивающейся {0}. [Конец после­довательности (в) будет нулем, так как Следовательно,

для всех полугрупп S L. Лемма доказана.

2.20. Лемма.

Доказательство. Покажем сначала, что θс удовлетворяет аксиоме 1. Пусть Для каждого числа k = 1, ..., п рассмотрим последовательность

Прямая сумма этих последовательностей (k = 1, ..., п) сводится к ог­раничению на диагональ и взятию последовательных образов. Тогда по предложению 3.17 из микромодуля 9 результирующей последовательностью будет последовательность (в). Из этого сразу следует, что θс удовлетворяет аксиоме 1.

Теперь докажем, что θс удовлетворяет аксиоме 2. S→→S/I тогда и только тогда, когда идеал I комбинаторный. Из получаем,

что поэтому последовательности (д) для S и для S/I различаются только первым членом и имеют одинаковую длину. Это доказывает, что θс удовлетворяет аксиоме 2.

Наконец, мы покажем, что θс удовлетворяет аксиоме 3. Пусть S ≠ {0} есть GM полугруппа. Тогда в силу пункта г) утверждения 3.25 из микромодуля 9 S→→RLM (S) равно S→→SL. Далее S есть GGM полу­группа и поэтому Таким образом, последователь­ность (в) для S имеет вид

и, следовательно,

2.21. Лемма. Если

Доказательство. T|S влечет TGM|SGM влечет TGM(RLM)|SGM(RLM) влечет... и т. д. Поэтому когда последовательность для S достигает {0}, последовательность для Т должна достичь {0} по крайней мере на чле­не того же номера. Следовательно,Но

2.22. Лемма. θj = θ.

Доказательство. Заметим, что если полугруппа S является объеди­нением групп и есть GGM, но не GM полугруппа, то Действи­тельно, отмеченный идеал I полугруппы S должен быть комбинатор­ным и поэтому Но требование, чтобы S действовала точно слева и справа на I, заставляет I# быть одноэлементным множест­вом. Следовательно,

Теперь, если мы заменим GM полугруппы в последовательности (е) GGM полугруппами и определим норму последовательности как наи­большее целое число п, такое, что (GGM)n будет некомбинаторной, то, очевидно, максимум норм всех этих последовательностей равен θf (S).

Рассмотрим все последовательности этого вида и добавим к каждой из них тривиальное отображение с тем, чтобы все они имели максимальную длину. Затем возьмем прямую сумму всех этих последовательностей. Число членов прямого произве­дения вида GGM, которые некомбинаторны, равно θf (S). Тогда огра­ничим эту последовательность на диагональ и рассмотрим первый об­раз. Очевидно, чтои SGGM есть подпрямое произведе­ние всех GGM1 полугрупп всех этих последовательностей. Запишем это как

Применим теперь предложение 3.17 из микромодуля 9 для того, чтобы получить соотношение

Однако по транзитивности подпрямых произведений есть подпрямое произведение второго члена прямой суммы всех последователь­ностей, поскольку им является

Запишем второй членТогда снова в со-

ответствии с предложением 3.17 из микромодуля 9 получаем

так что Далее продолжаем рассуждать аналогично.

Воспользуемся теперь следующим, легко доказываемым фактом. Пусть В этом случае полугруппа S будет комбинаторной тогда и только тогда, когда каждая полугруппа Si комбина­торна, где i = 1, ..., п.

Если то первый член последовательности (в), который

мог бы быть комбинаторным, будет подпрямым произведением

В этом случае последовательность (в) оканчивается самое худшее после одного шага, так как если С — комбинаторная полугруппа и

В любом случае следующий член последова­тельности (в) будет комбинаторным, так как он представляет собой подпрямое произведение для Если теперь

и С—комбинаторная полугруппа, то С = SF.

Поэтому подсчет последовательности (в) доставит нам п собственных L гомоморфизмов. Следовательно,для всех S L.

Рассматриваемое далее утверждение представляет собой следствие только что изложенного доказательства. Пусть обозначает n-й член такого вида в последовательности (в) для полугруппы S. Пусть θ(S)=п. Рассмотрим все самые длинные GGM — RLM последо­вательности для S. Тогда мы знаем, что каждая GGMn есть последняя GGM полугруппа в последовательности, которая не будет Для члена RLMn не обязательно выполняется соотношение

Мы укажем необходимые и достаточные условия для того, чтобы каждая полугруппа Этот результат окажется полезным в доказательстве равенства θi = θ.

2.23. Утверждение. Пусть имеется описанная ранее ситуация.

В этом случае тогда и только тогда, когда

Доказательство. Напомним, что U1 | S тогда и только тогда, когда

U1 ≤ S. Отмеченный F класс RLM полугруппы имеет вид Аr.