Дискретно-непрерывная математика (стр. 78 )

в) Предположим является взаимно однозначным на S, I ≠{0}, Пусть I — другой 0-минимальный идеал полугруппы S. Так как I ≠{0}, то и поэтому идеал IJ ≠{0}. Но

так что I = IJ =J в силу минимальности. Анало-

гично проводится доказательство, когда взаимно однозначно отобра­жение ML.

2.16. Обозначения. а) Пусть S — полугруппа. Определим

. Другими словами, — ненулевая часть полугруппы S.

Единственный регулярный минимальный или 0-минимальный идеал I в RM, LM, RLM, LLM, GM или GGM полугруппе называется от­меченным идеалом, и I# называется отмеченным F классом.

б) Часто в тех случаях, когда нет неясности, на каком F классе определяется гомоморфизм, J индексирует гомоморфизмы. Например, означает взятие RLM для GMj (S) по отношению к от­меченному F классу.

2.17. Предложение. а) Пусть S — регулярная полугруппа. Тогда S может быть записана как подпрямое произведение GM, RLM и LLM полугрупп.

б) Пусть Т будет RM полугруппой с отмеченным F классом J. Пусть G — максимальная подгруппа в J и В — множество L классов в J. Тогда

в) Пусть Т будет LM полугруппой с отмеченным F классом J. Пусть G — максимальная подгруппа в J и А — множество R классов в J. Тогда

г) Полугруппа S является RM полугруппой тогда и только тогда, когда r(S) есть LM полугруппа. В общем случае, однако, RMJ(T) не будет антиизоморфна LMJ (T).

Доказательство, а) Этот пункт следует из утверждения 2.15 и предложения 2.12.

б) ПустьТак как гомоморфизм MIR взаимно одно­значный на Т, каждый элемент из Т будет отдельным правым перено­сом на I. Следовательно, в силу утверждения 2.16 из гл. 7

где

Рассматривая теперь каждый элемент полугруппы Т как элемент узлового произведения, легко видеть, что два элемента имеют одинаковую первую координату тогда и только тогда, когда они одинаково действуют на правые символы. Но это есть определение RLMJ. Очевидно, что поэтому легко видеть, что

в) С помощью рассуждений, дуальных пункту б), доказывают

пункт в).

г) Первое утверждение очевидно. Рассмотрим следующий контр­пример, показывающий, что могут не быть антиизоморфны. Пусть

где

и

Тогда легко проверить, что LM (Т)= Т, в то время как

где I есть единичная матрица порядка 2×2. Следовательно,

Мы предлагаем теперь другой пример, в котором S есть GM полу­группа, представляющая собой объединение групп с отмеченным F классом Т. Покажем, что RLMt (S) не будет антиизоморфна LLMT (S).

Пусть Z2—группа из двух элементов {1, —1} по умножению. Пусть где

Пусть — новая полугруппа со следующим законом

умножения: Z2 и Т— подполугруппы в S; 1 Z2 есть единица S и

Теперь можно проверить, что S есть GM полугруппа, являющаяся объединением групп с отмеченным идеалом Т. Однако некоторые вы­числения показывают, что, в то время как |LLMt(S)|=3. Следовательно, RLMT(S) и LLMT(S) не будут антиизоморфны.

2.18. Определение. а) Напомним определение максимального соб­ственного эпиморфизма (МРЕ) полугруппы S (см. определение 1.15). Мы говорим, что S имеет единственный максимальный собственный эпиморфизм (UMPE) (Unique maximal proper epimorphism) θ : S →→Т, если для всех собственных (т. е. не взаимно однозначных) эпиморфизмов существует эпиморфизм такой, что φ = αθ, т. е. представленная диаграмма коммутативна.

б) Полугруппа S называется неразложимой от­носительно подпрямого произведения, если из соотно­шения вытекает для неко­торого i = 1, ..., n.

2.19. Лемма. a) S имеет UMPE тогда и только тогда, когда 5 неразложима относительно подпря­мого произведения. Следовательно, S может быть записана как под-прямое произведение UMPE полугрупп.

б) Пусть S неразложима относительно подпрямого произведения, или S содержит ненулевой комбинаторный идеал I, так что | S/I | <| S |, или S есть GM полугруппа.

Доказательство, а) Пусть S имеет UMPE, скажем θ. Пусть S≤ S1 × ... ×Sn и pi — гомоморфизм, являющийся i-й проекцией. Тогда pi(S)= Si и отображение взаимно однозначно на S. Предположим, что каждый pi является собственным гомоморфизмом. Тогда существуют qi, такие, что pi = qiθ для всех i = 1, ..., п.

Тогда

Пpi не является взаимно однозначным, так как θ — не взаимно од­нозначное отображение. Это противоречие. Следовательно, для некото­рого i = 1, ..., n pi будет изоморфизмом и SS. Наоборот, предпо­ложим, что S неразложима относительно подпрямого произведения. Пусть {φi : i = 1, ..., п) — множество всех собственных гомоморфиз­мов на S. По предложению Пφi не является взаимно однозначным на S, если бы это имело место, то φi(S) S для некоторого i=1, ..., п. Легко проверить, что есть UMPE полугруппы S.

б) В силу предложения 2.12 и пункта a) S представляется как Nj(S) для некоторого нулевого F класса J или S есть RLM, LLM или GM полугруппа. В первых трех случаях S содержит нулевой комбинатор­ный идеал. Лемма доказана.

Продолжим описание полугрупп с помощью единственного макси­мального собственного эпиморфизма.

2.20. Лемма. Пусть полугруппа S имеет единственный максималь­ный собственный эпиморфизм, например θ.

а) S содержит единственный 0-минимальный идеал I и θ является взаимно однозначным на S— I#. Нет собственного эпиморфизма полу­группы S, взаимно однозначного на I#.

б) Пусть S—регулярная полугруппа. Тогда или

Доказательство, а) Пусть Q* — отношение конгруэнтности, ас­социированное с θ. Если Q — любое другое отношение конгруэнтности, ассоциированное с собственным гомоморфизмом φ на S, то Q* Q. Теперь, поскольку Q*=Q*∩Q, мы имеем для всех собственных гомоморфизмов φ на S.