Дискретно-непрерывная математика (стр. 79 )

Пусть I ≠ {0} — любой собственный идеал полугруппы S и η : S→→S/I. Предположим что θ является взаимно однозначным на I. Тогда (θ ×η)∆ будет взаимно однозначным на S. Но (θ ×η)∆ = θ и θ не является взаимно однозначным на S. Это противоречие. Следо­вательно, θ не будет взаимно однозначным на любом собственном идеа­ле полугруппы S.

Пусть I есть 0-минимальный идеал. Тогда, поскольку θ не является взаимно однозначным на I в соответствии с леммой 1.18, θ будет взаим­но однозначным на S— I#. Следовательно, если бы полугруппа S содержала другой 0-минимальный идеал, отображение θ было бы взаим­но однозначным на нем. Это противоречие. Следовательно, I единст­венный.

Если φ — собственный гомоморфизм, взаимно однозначный на I, то будет взаимно однозначным отображением на I.

Это противоречие. Пункт а) полностью доказан.

б) Пусть S — регулярная полугруппа. Тогда ее единственный 0-ми-нимальный идеал I будет регулярным. Тогда отображение

взаимно однозначно на I и, следовательно, в си­лу пункта а) взаимно однозначно на S, т. е.

Следовательно, по лемме 2.19 (пункта)) доказано все, что требовалось. Теперь более внимательно рассмотрим RM и LM полугруппы.

2.21. Определение. Пустьесть структурная мат­рица для рисовской полугруппы матричного типа. Две строки матрицы С называются пропорциональными (слева), если существует элемент g G, такой, что для всех а А. Два столбца матрицы С называются пропорциональными (справа), если существует элемент g G, такой, что для всех b В.

2.22. Утверждение. а) Пусть S есть LM полугруппа с отмеченным идеалом I. Предположим, что Тогда двух пропор­циональных (слева) строк структурной матрицы С не существует.

б) Пусть S — полугруппа и I — регулярный F класс полугруппы S с Тогда LMJ отождествляет L классы, при­надлежащие J, если ассоциированные строки матрицы С пропорцио­нальны.

в) Пусть S есть RM полугруппа с отмеченным идеалом I. Предпо­ложим, что Тогда двух пропорциональных (спра­ва) столбцов структурной матрицы С не существует.

г) Предположим ситуацию пункта б). RMJ отождествляет R клас­сы, принадлежащие J, если соответствующие столбцы матрицы С про­порциональны.

д) Пусть S есть GGM полугруппа с отмеченным идеалом I. Пред­положим, что Тогда двух пропорциональных (слева) строк и двух пропорциональных (справа) столбцов матрицы С не существует.

е) Предположим ситуацию пункта б). GGMJ отождествляет R клас­сы, принадлежащие J, если соответствующие столбцы матрицы С про­порциональны, и отождествляет L классы, принадлежащие J, если соответствующие строки матрицы С также пропорциональны.

Доказательство, а) Предположим, что две строки матрицы С про­порциональны, т. е. для некоторых b1, b2, b1 ≠ b2 существует элемент g1 G, такой, что для всех a d А. Тогда для всех

Но MLI является взаимно однозначным. Это противо­речие.

б) Заметим, что если две строки матрицы С пропорциональны, то такие же две строки любой другой структурной матрицы для J0 будут также пропорциональны. Далее в силу утверждения 8 из предыдущего микромодуля все новые структурные матрицы Р для J0 задаются соотношением

Поэтому если для всех а А, то

Пусть I —отмеченный идеал в LMJ (S). Тогда Нормализуем структурные матрицы для J0 и I так, чтобы гомоморфизм LMJ на J0 описывался в нормализованной форме, определяемой соот­ношениями (3.3) и (3.4) из предложения 1 предыдущего микромодуля. Если тогда J0 то мы имеем

Предположим теперь, что для всех а А.

Тогда, поскольку мы имеем для всех В силу пункта а) из этой формулы вытекает, что (и g kerω), из последнего соотношения в свою очередь следует, что L классы Lb1 и Lb2 из J отождествляются при LMJ.

Пункты в) и г) доказываются посредством рассуждений, дуальных к пунктам а) и б) соответственно.

Пункт д) следует из пунктов а) и в), так как GGM полугруппа является и RM и LM полугруппой.

Опираясь на доказательство пункта д), доказываем пункт е) точно так же, как пункты б) и г). Для другого доказательства можно восполь­зоваться фактом, что

(см. 2.3).

Пусть S будет GGM полугруппой с отмеченным идеалом I. Тогда, если известно, как элемент полугруппы S действует справа на I, это полностью определяет, как он действует на I слева. Если 0 I и I# — простая полугруппа, то 0 выключается из S, т. е. S — {0} будет под­полугруппой полугруппы S. Эти факты доказываются далее.

2.23. Утверждение. Пусть S есть GM полугруппа с отмеченным идеалом I. Тогда справедливы следующие положения:

а) пусть элемент s S. В этом случае xs известен для всех эле­ментов х I тогда и только тогда, когда sx известен для всех х I;

б) если 0 S и I# — простая полугруппа, то S — {0} есть под­полугруппа полугруппы S,

Доказательство, а) Пусть s—

функции, описывающие действие умножения справа и слева на I M0 (G; А, В; С). Так как умножения слева и справа на элемент s связаны, мы имеем

(3)

для всех а A, b В,

где элемент s для удобства опущен из обозначений

Предположим теперь, что мы знаем, как s действует справа на I, т. е. ψR(b) и δ (b) известны для всех b В. Нужно показать, что это полностью определяет ψL (а) и λ (а) для всех а А. Предположим, что ψL, λ и ψL', λ' — два возможных множества функций, описывающих действие s слева на I, удовлетворяющее соотношению (2.3). Фиксируя элемент аА из (3), мы получаем

(4)

Если f(b) равно нулю для всех элементов b В, то ψL (а) = 0 в си­лу регулярности С. Из этого следует, что и λ' (а) = 0. Поэтому в этом случае. Если существует элемент b В, такой, что I (b) не равно нулю, то также не равны нулю. Тогда