Дискретно-непрерывная математика (стр. 59 )

б) Пусть полугруппа S будет 0-простоя. Тогда S — {0} является F классом полугруппы S. Из утверждения 5 следует, что для всех ненулевых элементов а S R (а) = Ra {0} и L (а) = La {0}, т. е. правый идеал, порожденный элементом а, есть просто R класс, который содержит а с нулем.

Пусть теперь аS — {0}. Тогда SaS = S, поэтому существуют ненулевые элементы х, у S, такие, что хау = а, тогда хпауп = а для всех n≥l и поэтому существуют ненулевые идемпотенты е1, е2, такие, что е1 ае2 = а. Тогда е1а = а и ае2 = а. Из равенства е1а = а вытекает, что а R (е1). Так как а ≠ 0, имеем а R, поэтому Ra = R и е1Rа. Аналогично е2 La.

Утверждение 7. Если J-регулярный F класс полугруппы S, то R,, L, и H классы полугруппы, содержащиеся в J, будут соответственно ненулевыми R,, L, и H классами 0-простой полугруппы J0.

Доказательство. Мы докажем утверждение для L классов; для R классов доказательство проводится аналогично. Поскольку H классы представляют собой пересечения L и R классов, утверждение будет справедливо и для H классов.

Пусть L(S) и L(J) обозначают отношения эквивалентности L для полугрупп S и J0 соответственно. Очевидно, если L' — ненулевой L класс полугруппы J0, то L' содержится в L классе J полугруппы S.

Обратно: пусть элементы a, b J. Предположим, что а(S)b. Тогда в силу утверждения 7 существуют идемпотенты еа, еь Ј 0, такие, что еаL(J)a и еьL(J)b. Так как L(J) эквивалентность влечет L(S) эквивалентность, имеем еа L(S) aL(S)bL(S)eb, т. е. еа L(S)eb. Тогда существуют элементы x, у S1, такие, что хеа = еь и уеь = еа. Поэтому еаеь = уеъеь = уеъ = еа и аналогично еьеа = еь. Следовательно, ea L(J)eb, поэтому а L (J) ea L (J) eb L (J)b.

Замечание 7. Теперь мы знаем, что если J является регулярным F - классом, то картинка, которую мы ввели для J (см. рис. 3.1), в точности совпадает с картинкой для ненулевого F класса полугруппы J0. Дальше мы сформулируем и докажем теорему Риса, которая полностью определяет строение 0-простых полугрупп при помощи «eggbox»-картинки. Тогда в силу утверждения 7 мы будем знать строение регулярных F - классов.

Теорема Риса. Если S — 0-простая полугруппа, то полугруппа S0 изоморфная регулярной рисовской полугруппе матричного типа. Наоборот, регулярная рисовская полугруппа матричного типа есть 0-простоя.

Доказательство. Пусть S — 0-простая полугруппа и J — ее (единственный) ненулевой F класс. Как и в замечании, предшествующем утверждению 6, пусть R1, ..., Rm и L1..., Ln обозначают R и L классы полугруппы S, содержащиеся в J. Тогда Нij = Ri Lj есть H классы полугруппы S, содержащиеся в J. В силу утверждения 6 по крайней мере один H класс, который принадлежит J, является подгруппой полугруппы S. Предположим, что R и L классы занумерованы так, что Н11 = R1 L1 есть подгруппа. Пусть е — единичный элемент подгруппы Н11. Для номеров i = 1, ..., т и j = 1, ..., п выберем элементы li Нi1 и rj Н1j. Теперь еL lі, поэтому существует элемент х S1, такой, что хе = li. Тогда lie = хее = хе = li. Аналогично еrj =rj. Тогда в силу утверждения 5 соответствие g→ligrj будет взаимно однозначным отображением класса Н11 на класс Hij для i = 1, ..., т и j = 1, ..., п. Следовательно, при заданных li - м и rj-м элементах каждый элемент s J однозначно представляется в виде s= ligrj, где g Н11.

Пусть теперь А = {1, ..., т}, В = {1, ..., п} и G = Н11. Определим отображение ψ: S0→ M0 (G; А, В; С), полагая ψ (ligrj) = (g, i, j) и

ψ(0) = 0. Из предыдущих рассуждений вытекает, что отображение ψ взаимно однозначное и эпиморфное. Определим отображение С : В × А→G0, полагая С(j, i) =rjli. Теперь rj R1 {0}— правый идеал полугруппы S и li L1 {0} — левый идеал полугруппы S. Следовательно, rjli (R1L1){0}=G0, легко видеть, что отображение ψ есть изоморфизм.

Для того чтобы завершить доказательство, остается показать, что рисовская полугруппа матричного типа 0-простая тогда и только тогда, когда она регулярная. Мы оставляем это читателю как упражнение (см. упражнение 3 в этом микромодуле).

Резюме. Все приведенные соображения дают возможность узнать, как локально устроено умножение в полугруппе S. Термин «локально» означает, что рассматривается произведение элементов из одного F класса. Если произведение двух элементов из F класса J снова принадлежит J, то мы знаем, чему это произведение равно. Если же произведение не принадлежит J, оно переходит, или «спускается», в F класс, меньший, чем класс J (в смысле отношения порядка, введенного на множестве F классов). Этот факт нам известен, однако чему равно произведение или в какой конкретно F класс оно попадает, мы не знаем.

Нам известно «локальное умножение» потому, что F класс J является или регулярным, или нулевым. Если класс J нулевой, произведение двух элементов всегда спускается в меньший F класс. Если класс J регулярный, то рисовская полугруппа матричного типа, изоморфная J0, позволяет определить, или спускается или нет произведение, и если оно не спускается, то чему оно равно.

Такая характеристика регулярных F классов с помощью регулярных рисовских полугрупп матричного типа исключительно полезна и мы рекомендуем читателю как можно лучше ознакомиться с этим специальным классом полугрупп. Далее, начиная с этого места, большинство доказательств будет проводиться при помощи теоремы Риса и рисовских полугрупп матричного типа.

Замечание 8. Изоморфизм ψ : S0→→ M0(G; А, B; C), определенный в доказательстве теоремы Риса, целиком зависел от выбора элементов li Нi1 и rj Н1j. Так как внутри соответствующих Н классов эти элементы можно выбирать произвольно, для полугруппы S0 существует, вообще говоря, много таких изоморфизмов. Любой изоморфизм полугруппы S0, определенный таким образом, называется координатным отображением для (0-простой) полугруппы S. Следующее утверждение дает полезную характеристику всех координатных отображений S.

Утверждение 8. Пусть S есть 0-простая полугруппа. Предположим, что

ψ : S0→→ M0(G; А, B; C) и ψ′ : S0→→ M0(G; А, B;P)

представляют собой два координатных отображения для полугруппы S. Пусть li Нi1, rj Н1j и li′ Нi1, rj′Н1j, i = 1, ..., п, j = 1, ..., т, будут соответствующими наборами элементов, которые определяют отображения ψ и ψ′. Тогда существуют отображения λ:А→G и δ:В→G, такие, что Р (j, i) = δ (j)C (j, i) λ (i) и отображение

θ : M0 (G; A, B; C) →→ M0 (G; A, B; Р), определяемое соотношением θ(g,i, j)=(λ (i)-1gδ(j)-1, i, j), будет изоморфизмом, причем ψ′=θψ. Наоборот, если для любых заданных отображений λ : A → G и δ: B→G структурная матрица Р:В×А→G0 определяется соотношением Р(j, i)=δ(j) C (j, i) λ (i), тo отображение θ, введенное раньше, устанавливает изоморфизм из М0 (G; А, В; С) на М0 (G; А, В; Р) и изоморфизм ψ′=θψ есть координатное отображение для полугруппы S.