Дискретно-непрерывная математика (стр. 72 )

Perm (X) = Perm R (X) Perm L (X).

Подполугруппа U полугруппы S называется унитарной справа, если для всех элементов х S — U имеем Ux U = . U называется унитарной слева, если для всех элементов х S — U имеем

xU U = .

Если 1 S и U — унитарная подполугруппа в S, то 1 U.

Подполугруппа U полугруппы S унитарная справа тогда и только тогда, когда для некоторого действия полугруппы S на некоторое множество X и для некоторого х X U= {s S : xs = х}. Легко проверить, что подполугруппа U, удовлетворяющая этому условию, унитарна справа. Проверим обратное. Пусть S действует на совокупность классов эквивалентности элементов полугруппы S1, определяемых отношением s1 ≡ s2, тогда и только тогда, когда для всех

х Sl s1x и s2x или оба вместе принадлежат U, или оба не принадлежат U. Множество U есть (≡) класс и U — множество элементов из S, оставляющих U на месте.

Если Н является Н классом полугруппы S, то Perm R (Н) = RI (H) и Perm R (H) унитарна справа. (Указание. Пусть S действует справа на 2S, далее воспользуйтесь изложенным ранее). Если Н — группа, то существует гомоморфизм из PermR(Н) на Н, фиксирующий Н. Следовательно, для любой максимальной подгруппы Н полугруппы S существует унитарная подполугруппа U в S, для которой Н — ретракт, т. е. Н U S. U унитарная и существует гомоморфизм φ : U →→ Н, ограничение которого на Н будет тождественным отображением.

21. Пусть А — множество. Для элементов a, b А пусть Т(а, b)FR (A) обозначает функцию, переводящая а в b и оставляющую все другие элементы множества А на месте. Если | А | ≥ 2, то подполугруппа полугруппы FR(A), порождаемая множеством элементов {Т(а, b):а, bА}, есть FR (A) —SYMR (А)) {1}. Следовательно, FR(А) порождается тремя элементами, и если | А | ≥ 3, тo меньшего числа образующих будет недостаточно.

[Указание. Покажите, что SYMR (А) порождается двумя элементами и что для порождения любой Т (а, b) достаточно группы SYNR (А) и любого элемента, область значения которого содержит |А| — 1 элементов.]

22. Пусть J — простой F класс полугруппы S. Пусть х S. Докажите, что если j Ј и jx J, тo xJ J. Затем, применяя дуальный результат, докажите, что Jx J.

23. Пусть I — непустое подмножество полугруппы S • I будет идеалом, если I является объединением F классов полугруппы S, таких, что как только J1 и J 2 представляют собой два F классы S, причем J1≤ J2 и J2 I, тo J1 I. I будет левым (соответственно правым) идеалом тогда и только тогда, когда I — объединение L классов (соответственно R, классов), удовлетворяющих сформулированному ранее условию упорядоченности.

Если I есть максимальный идеал, то S — I есть единственный F класс. Соответствующий факт справедлив для максимальных левых или правых идеалов. Если I есть максимальный левый идеал, требуется ли, чтобы F класс, который содержит S — I, был максимальным?

24. а) Для х, у S доказать, что LxRy Jxy.

б) Пусть h1, h2, h'1, h'2 — элементы полугруппы S и hiHh'i при i = 1; 2. Тогда h1h2 F h'1h'2, и если h1 F h2 и h1 F h1h2, то h1h2 F h'1h'2.

25. Пусть S — конечная нильпотентная полугруппа. Тогда каждый F, L, R и H классы полугруппы S состоят из одного элемента. [Указание. Если s1 ≠0≠s2 xs1= s2, ys2 = s1, то (yx)n s1= s1 для всех n, поэтому некоторая стeпень элемента (ух) будет ненулевым идемпотентом.].

26. Пусть Т — подполугруппа полугруппы S. Предположим, что α (Т) и α(S) обозначают одно из отношений H, L, R или F на Т или S соответственно. Тогда из соотношения s1α (S)s2 вытекает s1α (T)s2, если справедливо одно из следующих условий:

а) Т — циклическая полугруппа;

б) Т — регулярная и α≠ F;

в) S есть нильпотентное расширение объединения групп (т. е. М — объединение групп и идеал полугруппы S, полугруппа S/M нильпотентная). В частности, если S — циклическая или нильпотентная полугруппа или S есть объединение групп, результат справедлив.

27. Найдите все подполугруппы инверсной 0-простой полугруппы.

28. Охарактеризуйте инверсные, комбинаторные полугруппы, являющиеся объединением групп.

29. Пусть C1 и C2 — комбинаторные полугруппы и φ : С1 → End (C2) — гомоморфизм. Докажите, что C2 × φC1 — комбинаторная полугруппа.

30. а) Полугруппа S регулярна тогда и только тогда, когда для каждого х S существуют е1, е2 Е (S), такие, что е1 L х и е2 R х.

б) S регулярна тогда и только тогда, когда каждый элемент полугруппы S имеет по крайней мере один инверсный элемент.

в) х, у S будут инверсный в групповом смысле тогда и только тогда, когда х будет инверсным в полугрупповом смысле для у, у в полугрупповом смысле инверсный для х и ху = ух.

г) Если Хп={1, ...,n}, тo FR(Xn) регулярна.

д) Если А и В — конечные непустые множества, то любые два элемента из Аl × Вr инверсны друг к другу.

е) S регулярна тогда и только тогда, когда r (S) регулярна.

31. a) S будет инверсной полугруппой тогда и только тогда, когда для каждого элемента х S существуют единственные элементы е1,е2Е(S), такие, что S1х = Se1 и x S 1 = e2S.

б) Если S — инверсная полугруппа, то (а-1)-1 = а и (a b)-l = b-la-1 для всех а, b S. Следовательно, отображение а→а-1 есть изоморфизм S с r (S).

в) Пусть G — конечная группа и S=(2G, •), где Н1 • Н2={h1 h2 : h1 Н1, h2 H2}. Тогда E (S) есть совокупность подгрупп группы G. В общем

случае Е (S) не является коммутативной, однако каждый регулярный фактор полугруппы S будет инверсной полугруппой.

32. Пусть А = {а1, ..., ап} и І — идеал в полугруппе ∑А, состоящей из цепочек (x1, ..., хk), таких, что k ≥c для некоторого фиксированного целого с. Тогда (∑А)/I есть свободная нильпотентная полугруппа FN (п, с) класса с з п образующими. S есть нильпотентная полугруппа с самое большее п образующими и с cl (S) ≤ с тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм φ : FN (п, с) →→ S.

33.Пусть J есть F класс полугруппы S. Определим

F (J) = {J': J' есть F класс в S и J J'}.

а) F(J) = или F (J) есть идеал полугруппы S.

б) F(J) = тогда и только тогда, когда J = К (S).