Дискретно-непрерывная математика (стр. 12 )

Рис. 1.9. Иллюстрация работы алгоритма выполнения операций дополнительного вычитания и деления нечетких чисел.

Справедливость алгоритма следует из теоремы Дюбуа - Прада. Соответствующее аналитическое выражение имеет вид

(1.40)

или после упрощения,

Для решения нечетких уравнений Дюбуа — Прада предложена дополнительная операцию ) + ( вычитания интервалов G= (g1, g2) и Н= (h1, h2), такую, что

(G+H) )+( (-H) = G.

Она определяется выражением

Можно показать, что

А) + ( ( - В)≡А— —В

и, значит,

(А + В) ) + ( ( - В) = (А + В) — —В.

Таким образом, операция дополнительного вычитания — — (1.39)

и дополнительная операция ) + ( аналогичны.

1.8.3. Арифметическая операция «дополнительное деление».

Рассмотрим умножение нечетких чисел. Известно, что если

D = А*В, αij=aibj (i, j l, 2),

то

или

(d1,d2) = (а1, а2)*(b1, b2),

где умножение носителей выполняется по правилам интервальной арифметики. Аналогично сложению при 0 SA имеем

(b1, b2) ≠ (d1, d2) / (a1, a2) = (d1, d2) (l/a2) 1/a1).

Значит, на основе операции деления носитель неизвестного Y в нечетком уравнении AY=D найти нельзя. Поэтому определим новую операцию // («дополнительное деление») так, чтобы при выполнении равенства Y = D//A было справедливо равенство AY=D.

Для носителей нечетких чисел операция // определяется следующим образом:

(1.41)

и т. д. Алгоритм вычисления степеней принадлежности для любой точки b' SB при известных А и D (в равенстве D=AB) иллюстрируется на рис. 1.9, где b'=d'/a', b"= d"/a". Справедливость алгоритма следует из теоремы Дюбуа - Прада.

Данному алгоритму соответствует следующее аналитическое выражение:

(1.42)

или после упрощения

1.8.4. Решение уравнений с нечеткими числами

Ряд задач анализа математических моделей нечетких систем предполагает необходимость решения уравнений с нечеткими числами. С практической точки зрения интересно рассмотреть уравнения с обычными математическими термами и нечеткими математическими отношениями и уравнения с нечеткими чис­лами и обычными математическими отношениями.

В общем случае нечеткими уравнениями называются урав­нения, в которых коэффициенты и/или переменные являются нечеткими числами.

1. Уравнения с нечеткими отношениями и обычными ма­тематическими термами.

Определение 1. Математическим термом называется конструкция из элементов и связывающих их операций: +, ×, -, :.

Определение 2. Если то А называется нечетким отношением, а μА(х, у) указывает на то, с какой степенью (х, у) удовлетворяет А. Примером А может быть А «приблизительно равно».

Определение 3. Если f1 и f2 математические термы и А нечеткое отношение, т. е. то f1Аf2 называется нечетким уравнением с нечетким отношением.

Теорема 1. Предположим, что f1 и f2 математические термы, А является нечетким отношением и имеет место урав­нение f1Аf2. Тогда, если а ,то

(1.43)

В дальнейшем μА(х, у) будем обозначать А (х, и).

Если то

нечеткое отношение А а) симметрично, если А(х, у) = А(у, х); б) аддитивно независимо относительно b, А+b=A; в) мультипликативно независимо относительно b, b•A=A.

Теорема 2. Нечеткое отношоиио А является аддитивно независимым тогда и только тогда, когда

(1.44)

Теорема 3. Нечеткое отношение А является мультипли­кативно независимым тогда и только тогда, когда

(1.45)

Определение 4. Нечетким математическим термом на­зывается конструкция из элементов связан­ных операциями

В литературе рассматриваются примеры решения уравнений с нечеткими отношениями и обычными математическими термами на основании вышеуказанных теорем.

2. Уравнения с обычными отношениями и нечеткими ма­тематическими термами. Широкий класс задач математического программирования в нечетких условиях и анализа нечетких систем предполагает необходимость решения уравнений с нечет­кими термами и обычными отношениями. Поскольку семейство выпуклых нормальных нечетких чисел образует только коммутативное полукольцо, то решение уравнения с нечеткими тер­мами возможно только при использовании разложения нечетких термов по α-уровням. Метод, описанный в литературе, неизбежно при­водит к нечетким нулям и в конечном счете к изменению сте­пени истинности математических отношений.

Определение 5. Скобочной формой уравнения f1Аf2 называется следующее разложение по α - уровням:

(1.46)

Пример:

пусть

тогда

(1.47)

Если все нормальные унимодальные числа, из которых состоят нечеткие термы f1, f2, имеют носители такие, что они не содержат одновременно положительных и отрицательных элементов, то будет справедливо следующее соотношение

(1.48)

Поскольку элементы скобочной формы и А являются обычными математическими термами и отношениями, то для ско­бочной формы будут справедливы соответствующие условия аддитивной и мультипликативной независимости, которые справед­ливы для любых обычных уравнений.

Таким образом, чтобы решить уравнение вида f1(x)Af2(x), необходимо привести его к виду (5.46) и решить отдельно относителыго δх и γх. Условием адекватности решения является выпуклость и нормальность IIЧ (1.1), (1.2).

В случае L — R нечетких чисел уравнение с НЧ можно решить, получив соответствующую скобочную форму. При этом необходимо учитывать приближенный характер операций и для нечетких чисел (L — й)-типа.

Условие адекватности решения в этом случае примет вид

(1.49)

где αх и βх — соответствующие коэффициенты нечеткости. Сле­дует отметить, что разложение по α-уровням выпуклых нечет­ких подмножеств дает возможность производить дальнейший анализ задач с НЧ с помощью методов интервального анализа.

1.8.5. Свойства дополнительных операций.

Решение линейного нечеткого уравнения (1.38) с использованием дополнительных операций (1.39)—(1.42) имеет вид Х=(C— -В)//А. Свойства дополнительных операций состоят в следующему:

1. Операция дополнительного отнимания А— —В определена

не для всех А, В , а только для таких нечетких чисел, в которых а1–b1≤а2–b2, или а2–a1≥b2–b1 т. е. у уменьшаемого длина интервала (носителя) должна быть больше чем у вычитаемого. Отсюда А операция 0— —А не определена.

2. Операция дополнительного деления определена также не на всем множестве . Например, если SA>0, SB>0, то операция В//А определена лишь при условии, что b2/b1≥а2/а1.