Дискретно-непрерывная математика (стр. 47 )

Последняя теорема позволяет разложить любое винтовое перемещение в композицию двух опрокидываний. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Любое винтовое перемещение можно представить в виде композиции двух опрокидываний относительно двух различных прямых.

Эти прямые удовлетворяют следующим условиям:

a) если винтовое перемещение есть параллельный перенос, то они перпендикулярны к направлению перемещения;

b) если винтовое перемещение есть поворот или винтовое перемещение в собственном смысле слова, то они пересекают ось под прямым углом.

Одну из этих прямых можно выбрать в остальном произвольно; другая прямая при этом определяется однозначно.

С помощью теоремы 3 можно установить следующий важный результат.

Теорема 4. Композиция двух винтовых перемещений есть винтовое перемещение.

Если эти винтовые перемещения суть повороты вокруг осей, проходящих через одну точку, то их композиция есть также поворот вокруг оси, проходящей через ту же точку.

Если эти винтовые перемещения суть параллельные переносы, то их композиция также будет параллельным переносом.

Доказательство. Рассмотрим два винтовых перемещения, которые имеют своими осями прямые l1 и l2 (рис. 2.21).

Рис. 2.21

Первое из них есть композиция двух опрокидываний относительно осей т1 и т′1, причем т′1 можно взять произвольно среди прямых, пересекающих l1 под прямым углом. Аналогично, второе винтовое перемещение есть композиция опрокидываний относительно осей т2 и т′2, причем т2 можно взять произвольно среди прямых, пересекающих l2 под прямым углом. Совместим теперь прямые т′1 и т2 с общим перпендикуляром к осям l1 и l2. Тогда эти прямые совпадут и опрокидывания относительно них взаимно уничтожатся. В результате останутся лишь опрокидывания относительно прямых т2 и т′2, композиция которых в силу теоремы 2 будет винтовым перемещением.

Если данные винтовые перемещения являются поворотами вокруг осей l1 и l2, проходящих через точку О, то через эту же точку пройдут прямые т′1, т1 и т′2. Поэтому композицией этих перемещений будет поворот вокруг оси, которая проходит через точку О.

Если же данные перемещения суть параллельные переносы, то прямые т1, т′1 и т′2 параллельны между собой. Следовательно, результирующее перемещение также будет паралельим переносом, что требовалось.

Рассмотрим теперь композицию двух симметрий и .

Теорема 5. Композиция i представляет собой:

a) если плоскости π1 и π2 параллельны — параллельный перенос, перпендикулярный к обоим плоскостям и равный удвоенному переносу, переводящему плоскость π1 в плоскость π2;

b) если плоскости π1 и π2 пересекаются по прямой l — поворот вокруг l на угол, равный удвоенному углу между плоскостями π1 и π2.

Доказательство. Пусть А - некоторая точка пространства. Так как симметрии и переводят у себя плоскость, которая проходит через А и перпендикулярную к плоскостям π1 и π2, то теорема сводится к изучению композиции двух осевых симметрий на плоскости. Эта композиция есть либо параллельный перенос, перпендикулярный к осям, равный удвоенному переносу, переводящему первую ось во вторую, либо же поворот вокруг точки пересечения осей на удвоенный угол между ними. Отсюда следует утверждение теоремы.

Теорема 5 позволяет представить параллельный перенос и поворот в виде композиции двух симметрий. В частности, опрокидывание есть композиция двух симметрий относительно перпендикулярных плоскостей. Так как винтовое перемещение представляет собой композицию двух опрокидываний, то его можно разложить в композицию четырех симметрий.

Назовем параллельный перенос, поворот и винтовое перемещение — перемещениями первого рода, а симметрию относительно плоскости, скользящую симметрию и поворотную симметрию — перемещениями второго рода.

Так же как и для перемещений плоскости, имеет место следующее утверждение:

композиция двух перемещений первого рода есть перемещение первого рода, композиция перемещений первого рода и второго рода есть перемещение второго рода и композиция двух перемещений второго рода есть перемещение первого рода.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству соответствующего утверждения для плоскости. Прежде всего, в силу теоремы 5 любое перемещение пространства можно представить в виде композиции некоторого числа симметрий относительно различных плоскостей. А именно, параллельный перенос и поворот есть композиция двух таких симметрий, винтовое перемещение - композиция четыре симметрий, сама симметрия - композиция одной симметрии, скользящоя симметрия и поворотная симметрия - композиция трех симметрий. Следовательно, любое перемещение первого рода есть композиция четного числа симметрий, любое перемещение второго рода - композиция нечетного числа симметрий.

Обратное тоже верно: если перемещение есть композиция четного числа симметрий, то это перемещение первого рода; если же перемещение есть композиция нечетного числа симметрий, то это перемещение второго рода.

Для доказательства предположим, что некоторое перемещение раслагается в композицию симметрии двумя способами:

F = S2k S2k-1 ... S2 S1

и

F = S′2l+1 S'2l ... S'2 S'1,

причем в одном случае число эти симметрий четное, а в другом - нечетное. Тогда имеем тождество

S2k S2k-1 ... S2 S1= S′2l+1 S'2l ...'S'2 ° S'1.

Рассмотрим композицию левой и правой части этого тождества с S′2l+1. Учитывая, что S′2l+1 S′2l+1=E — тождественное перемещение, получим

S′2l+1 ° S2k S2k-1 ... S2 S1= S'2l ... S'2 S'1,

т. е. мы «перенесли симметрию S′2l+1 в левую часть». Продолжая эту процедуру, в конце концов мы придем к тождеству

S'1 S'2 ...S'2l S′2l+1 S2k S2k-1 ...S2 S1 = E, (2.47)

где в левой части стоит нечетное число симметрий. Доказав, что такое невозможно, мы получим, что для любого перемещения четность или нечетность числа симметрий, которые входят в произвольное разложение этого перемещения в виде композиции симметрии, не зависит от конкретного разложения. Это и будет означать, что четность или нечетность числа симметрий полностью определяет род перемещения. Из всего сказанного следует, что перемещение первого (второго) рода можно определить как перемещения, разлагающиеся в композиции четного (нечетного) числа симметрий, откуда вытекает требуемое утверждение.