Дискретно-непрерывная математика (стр. 56 )

3. Пусть S — полугруппа в е Е (S). Положим

Не ={s S: es =s=se и sr=e=rs для некоторого r S}.

Тогда Не — максимальная подгруппа в S, содержащая элемент е. В действительности, если G — подгруппа в S и G Не ≠ , то G Не . Следовательно, для f≠е Hf Не= и {Не: е Е(S)} — множество максимальных подгрупп полугруппы S.

4. Пусть Т — периодическая полугруппа и пусть s1, ..., sm Т. Тогда для любого целого N ≥ 1 существует п ≥ N, такой, что sjn E(S) при j =1, .... m.

Микромодуль 7.

Идивидуальные тестовые задачи

1. Если S — моноид и ху = 1 для х, у S, то элемент х называется левым обратным для элемента у, а элемент у — правым обратным для элемента х.

Постройте полугруппу, которая имеет п левых единиц и не имеет правых единиц. Если элемент моноида имеет левый и правый обратные элементы, то эти элементы равны.

2. Пусть S — конечная циклическая полугруппа. Найдите все гомоморфные образы и все подполугруппы полугруппы S. Будут ли они циклическими полугруппами?

3. Пусть S — конечная полугруппа и t1, t2 S. Пусть t1, t2, т1, т2 — соответственно индексы и периоды полугрупп < t1 t2 > и < t2t1 > [т. е. r1, r2, т1, т2 - наименьшие целые числа, такие, что (t1t2) =(t1t2) и

(t2t1) = (t2t1) ]. Тогда m1 = т2 и |r2 — r1 | ≤ 1. Существует ли более тонкое утверждение относительно элементов r1 и r2?

4. Для полугрупп из примеров 1, 2, 9, 10 определить следующее:

а) максимальные подгруппы (с точностью до изоморфизма);

б) IG (S);

в) максимальные подполугруппы.

5. При условии, которое рисовская полугруппа матричного типа S=M0(G;А;В; С) регулярна, докажите следующее:

а) если элементы s, t S и х S1 такие, что sx=t, то t =0, или существует элемент у S1, такой, что ty = s;

б) если элементы s, t S и х S1 такие, что хs = t, то t = 0 или существует элемент у S1, такой, что yt = s;

в) если элементы s, t S — {0}, то существуют элементы х, у S1, такие что xsy = t.

Микромодуль 8

Локальное построение конечных полугрупп

3.3. Локальные координаты: теорема Риса

В этом микромодуле развиваются два важных подхода к изучению конечных полугрупп. Первый из них основывается на отношениях Грина, а второй — на теореме Риса. Вместе они позволяют выяснить локальное строение конечных полугрупп.

Предполагается, что все полугруппы, рассматриваемые в этом микромодуле, имеют конечный порядок, если противное специально не оговорено.

Перед тем как приступать к изучению материала этого микромодуля, читатель может просмотреть материал микромодуля 7, связанный с понятием идеала.

Определение 1. Если I e — идеал полугруппы S, фактор-полугруппа S/I определяется как ((S — І) {0}, •), где 0 S — І и

Ассоциативность умножения следует из того, что І — идеал полугруппы S.

Естественный (или канонический) эпиморфизм ηІ: S→→S/I определяется соотношениями

Следовательно, S/S = {0}. Положим по определению S/ = S0.

Утверждение 1. а) Пусть S1— полугруппа, І — идеал полугруппы S1, положим S2=S1/I. Если φ=ηІ — естественный эпиморфизм, то соответствие Т→ φ-1 (Т) будет взаимно однозначным отображением множеств левых, правых и двусторонних идеалов полугруппы S2 на соответствующие множества идеалов полугруппы S1, содержащих І. Обратным отображением к Т→ φ1 (Т) является J→ φ(J).

б) Если множества А и В — подполугруппы полугруппы S, то A В — подполугруппа в S тогда и только тогда, когда АВ ВA A В. В частности, это включение имеет место, если А и В оба — левые идеалы, или А и В оба правые идеала, а также если либо А, либо В представляет собой идеал.

в) Пусть J — идеал и Т — подполугруппа полугруппы S. Тогда J Т = или J Т есть идеал в Т и J Т есть подполугруппа полугруппы S, содержащая J в качестве идеал. Следовательно, (J T)/J = T/(J Т).

г) Пусть І 1 І 2 S, где І 1 и І 2 — идеалы полугруппы S. Тогда І 2/І 1 — идеал полугруппы S / І 1 и (S / І 1)/( І 2/ І 1) = S / І 2.

д) Пусть І 1 І 2 S, где І 2 — идеал полугруппы S и І 1 — идеал в І 2 (т. е. І 1 — идеал І 2, рассматриваемого как полугруппа). Если І2 1 = І1, то І 1 есть идеал полугруппы S. (В замечании 1 покзано, что если І21≠ І1, то І 1 может не быть идеалом полугруппы S.)

Доказательство. Проверку пунктов а)-г) оставляем читателю в качестве упражнения. Перейдем к пункту д). Так как І2 1 = І 1, имеем І3 1 = І 1.

Следовательно,

S І 1 S = S І3 1S = (S І 1) І 1 (І 1S) І 2І 1І 2 І 1.

Поэтому І 1 будет идеалом полугруппы S.

Определение 2. Пусть п>1 и Nn обозначает полугруппу ({0, 1,..., п— 1}, •), где α• β= 0 для α, β{0, 1, ..., п— 1}. Nn называется стандартной полугруппой с нулевым умножением порядка п.

Замечание 1. Пусть п >1 и Nn+1 есть полугруппа вида (Nn {e},*), где Nn и {е} — подполугруппы, е*0 = 0 = 0*е и е*α =1=а*е для всех элементов αNn — {0}. Пусть I=Nn—{1}. Тогда І есть идеал подполугруппы Nn и Nn есть идеал полугруппы Sn+1, но І не является идеалом полугруппы Sn+1. Отметим, что І2 = {0} ≠ I. Следовательно, этот пример показывает необходимость условия І2 1 = І 1 в пункте д) утверждения 1.

Напомним, что ядром К(S) полугруппы S называется ее минимальный идеал.

Определение 3. Пусть S — полугруппа. Рядом главных идеалов (или просто рядом) полугруппы S называется последовательность

S = І 0 І 1 ... In = К (S), такая, что Іj - есть идеал полугруппы S при j= 1, 2, ..., п, и не существует идеала в полугруппе S, содержащего Іj и являющегося собственным подмножеством идеала Іj-1 при некотором j. Отметим, что S есть объединение непересекающихся множеств (І0 — І1), (І1— І2),...,(In-1— In), In. Факторами главного ряда называют фактор-полугруппы Риса

Fj = Ij-1/Ij при j= 1, .... п и Fn+1= In / =K(S)0.

Замечание 2. Мы хотим разложить полугруппу на меньшие куски, или «основные блоки», и исследовать эти куски для определения локального построения. Сначала представляется разумным исследовать факторы главного ряда. В следующем утверждении будет показано, что эти факторы являются 0-простыми полугруппами, или полугруппами с нулевым умножением. Потом мы покажем, что для всех главных рядов полугруппы факторы будут одинаковы. Поскольку строение (т. е. закон умножения) полугрупп с нулевым умножением известен (ab = 0 для всех элементов а, b S), остается только определить строение 0-простых полугрупп, чтобы уже стало известным локальное строение самой полугруппы. С помощью теоремы Риса и отношений Грина можно выяснить строение 0-простых полугрупп. Поэтому наша цель состоит теперь в доказательстве этой теоремы,