Дискретно-непрерывная математика (стр. 67 )

Для того чтобы завершить доказательство данного пункта, заметим, что В = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), 0} — правый идеал полугруппы

S = S22 ({1}, , но последовательность В {(1, 1, 2), 0} {0}

является главным рядом для В с нулевым вторым фактором, в то время как S — регулярная полугруппа.

е) Пусть I 2 - идеал в I1 и I1 — идеал в S. Тогда I 2 - объединение F классов для I1, все из которых регулярны согласно пункту д). Тогда согласно пункту в) I22 = I2, т. е. I2 есть идеал полугруппы S согласно пункту д) утверждения 11.

ж) Полугруппа S изоморфна своему правому регулярному представлению R (S), которое преставляє собой подполугруппу регулярной полугруппы FR (S1). Утверждение доказано полностью.

Теперь рассмотрим полугруппы, являющиеся объединением групп.

Определение 15. Говорят, что полугруппа S представляет собой объединение групп, если каждый элемент из S принадлежит подгруппе полугруппы S.

Предложение (Клиффорд). Пусть S — полугруппа.

а) Полугруппа S является объединением групп тогда и только тогда, когда каждый Н класс есть группа. Следовательно, S — дизъюнктивное объединение своих максимальных подгрупп.

б) S — объединение групп тогда и только тогда, когда для каждого F класса J полугруппы S J0 имеет вид M0 (G; А, B; C), где C не содержит нулевых элементов. Это эквивалентно свойству, что каждый F класс полугруппы S — (простая) подполугруппа.

в) S — объединение групп тогда и только тогда, когда для каждых элементов a, b S, J (ab) = J (a) J (b) = J (ba). Следовательно, S — объединение групп, если отображение s→J (s) является гомоморфизмом S на коммутативную связку {J (s) : sS}=B(2s, ). Прообраз любого J(s) B будет простой полугруппой Js.

г) S — объединение групп тогда и только тогда, когда F есть конгруэнтность и полугруппа S регулярнa.

д) Образы при гомоморфизмах, подполугруппы и конечные прямые произведения полугрупп, являющихся объединением групп, снова будут объединениями групп.

Доказательство. а) Так как каждый элемент а S представляет собой элемент подгруппы, то На — подгруппа.

б) Доказательство следует из теоремы Риса.

в) Предположим, что S есть объединения групп и a, b S. Тогда

аbН (ab)2 SbaS J (ba), т. е. ab J(b а). Следовательно, J(ab)=J(ba). Теперь очевидно, что J (ab) J (a) J (b). Пусть с J(а) J (b), т. е. для некоторых и, v, х, у S1 с = uav = xby. Тогда

сНс2=xbyuav J(byua) —J (uaby) J (ab),

т. е.

с J (ab) и J (ab) = J (a) J (b).

Наоборот, если S удовлетворяет J(ab)= J (а) J (b) для всех элементов

a, b S, то для всех a, b S из соотношения a F b вытекает, что

J (ab) = J (а) J (b)= J (a) = J (b), т. е. F классы полугруппы S — простые полугруппы и S есть объединение групп.

г) Предположим, что S есть объединение групп. Тогда полугруппа S регулярна. Пусть ab, х S, где a F b. Тогда J (a) = J (b), поэтому

J (ха) = J (ах) = J (а) J (х) = J (b) J (х) = J (bx) = J (xb),

т. е. axFbx и xaFxb. Следовательно, F - отношение конгруэнтности.

Наоборот, предположим, что S — регулярная полугруппа, для которой отношение F является конгруэнтностью. Пусть а S и е Jа -такой идемпотент, что ае = а. Пусть теперь b S — такой элемент, что bFа. Тогда из отношения bFe вытекает, что abFa, поскольку F — конгруэнтность. Следовательно, F классы полугруппы S — подполугруппы, поэтому S есть объединение групп.

д) Очевидно, что образ гомоморфизма объединения групп снова будет объединением групп.

Перейдем к подполугруппам.

Пусть T S — подполугруппа S. Пусть t Т. Тогда t принадлежит подгруппе полугруппы S, поэтому циклическая группа, порожденная элементом t, принадлежит подполугруппе Т. Следовательно, Т есть объединения групп.

Пусть S и Т — объединение групп. Пусть (а, b) S × Т. Так как а и b принадлежат подгруппам Ga и Gb полугрупп S и Т соответственно, то

(а, b) Ga × Gb есть подгруппа S × Т.

Определение 16. Элемент b полугруппы S называется инверсным к элементу а S, если а = aba и b = bab. Отметим, что тогда d F b.

Утверждение 18. а) Из соотношений а = aba и аFb вытекает, что

b = bab.

б) Полугруппа S регулярна тогда и только тогда, когда для каждого элемента в S имеется инверсный.

Доказательство. а) Так как aba =а элемент bа будет идемпотентом и bаFа. Но по условию aFb, поэтому baFb. Тогда согласно пункту в) утверждение 5 bаRb. Теперь если еRх, где е — идемпотент, тo ех = х. Следовательно, (ba) b = b.

б) Этот пункт вытекает из теоремы Рисa.

Oпределение 17. Полугруппа S называется инверсной, если для каждого элемента s S существует единственный инверсный элемент, он обозначается как s-1. Т называется инверсной подполугруппой полугруппы S, если Т — подполугруппа и из включения хТ вытекает, что х-1 Т.

Утверждение 19. а) Полугруппа S будет инверсной тогда и только тогда, когда S регулярна и множество ее идемпотентов Е(S) есть коммутативная полугруппа.

б) Полугруппа S инверсна тогда и только тогда, когда ее ядро K(S) является группой и для любого другого F класса J полугруппы S J0 имеет вид M0 (G; А, А; ∆), где ∆ есть |А| × |А| единичная матрица.

в) Гомоморфные образы, инверсные подполугруппы, идеалы и конечные прямые произведения инверсных полугрупп представляют собой инверсные полугруппы. Левые или правые идеалы (следовательно, и подполугруппы) инверсных полугрупп могут не быть инверсными полугруппами.

Доказательство. а) Пусть S — инверсная полугруппа. Тогда S регулярная. Предположим, что е1, е2 Е (S) и что а — инверсный элемент для е1е2. Тогда ае1 и е2а также инверсные для е1 е2, т. е. а =ае1 = е2а. Тогда а2 = (ае1) (е2а) = а, т. е. а Е (S). Следовательно, а-1 = e1e2 Е (S). Тогда е2е1 также будет инверсным для е1е2, поэтому e1e2 = e2e1

Наоборот, пусть х S, где S — регулярная полугруппа. Пусть у, z инверсные для элемента х. Тогда, поскольку Е (S) коммутативная полугруппа,

xz, xy, zx, ух Е (S),

у=уху=у(xzxzx)у = yxz (xz) (xy) = yxz (xy) (xz) =

= (ух) (zx) yxz= (zx) (ух) yxz= zxz = z.

Следовательно, инверсный элемент будет единственным.

б) Очевидно, что полугруппа, локальное построение которой удовлетворяет условиям пункта б), инверсная. Наоборот, если J есть F класс инверсной полугруппы и J0 = М° (G; А, В; С), то С имеет в точности один ненулевой элемент в каждой строке и в каждом столбце, так как элемент (g, a, b) имеет в точности один инверсный элемент вида (g1, а1, b1) для каждой пары ненулевых матричных элементов C (b, а1) и C (b1, а). Так как K (S) — простая полугруппа, из этих условий следует, что K (S) имеет только один Н класс и, следовательно, K (S) есть группа. Теперь пункт б) следует из утверждения 8.