Дискретно-непрерывная математика (стр. 11 )

(1.31)

(1.32)

4. Обратное НЧ:

(1.33)

5. Делепие НЧ:

(1.34)

Выражения (1.30) — (1.34) можно применять в случаях ма­лых значений коэффициентов нечеткости α, β, γ, δ.

В качестве примера рассмотрим операцию расширенного сло­жения для нечетких чисел, имеющих функцию принадлежности вида (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Пример операции сложения на нечетких числах

Для А=(3, 0,5, 0,2); В =(4, 0,3, 0,2) можно получить, со­гласно (1.28), Функция принад­лежности вычисляемого нечеткого числа (L — R)-типа имеет вид:

1.7.3. Алгоритмы выполнения арифметических операций.

Для вычисления результата выполнения арифметической операции разработано несколько алгоритмов. Так, например, предложенный алгоритм перебора, позволяет найти приблизительное (с любой точностью) значение функции принадлежности для любой точки носителя результата при определениях (1.1) и (1.4).

В одном из алгоритмов рассматриваются нечеткие числа с кусочно-непрерывной функцией принадлежности; доказана теорема, позволяющая довольно легко отыскивать точное значение степени принадлежности для любого элемента носителя результата арифметической операции. Этот алгоритм применим для определения (1.1) и выполняет числовое решение нелинейных уравнений. Схема его выполнения приведена на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Иллюстрация работы алгоритма Дюбуа-Прада при сложении нечетких чисел.

В некоторых роботах предложен также алгоритм быстрого приближенного вычисления результата арифметической операции. Его идея заключается в том, что левые ветви функций принадлежности операндов А и В аппроксимируются одной монотонно возрастающей функцией L, которая зависит от двух параметров, подбираемых для каждого операнда отдельно: L (тА, γА) и L (тВ, γВ). Аналогично для правых ветвей и монотонно убывающей функции R имеем R(mA, δА) и R(mB, δВ). Полученные аппроксимации называются L—R нечеткими числами и обозначаются через (тА, γА, δА), (тВ, γВ, δВ). Доказано, что результат сложения и вычитания L—R нечетких чисел есть также L—R нечеткое число вида (тА±тВ, γА+γВ, δА + δВ). Результат умножения и деления L—R нечетких чисел будет L—R нечетким числом лишь приблизительно. Например, результат умножения приблизительно имеет вид (тАтВ, тАγВ+тВγА, тАδВ+тВδА). L— R - аппроксимация полезная тем, что сами функции L(·) и R(·) в промежуточных вычислениях не участвуют, а используются лишь при получении окончательного ответва.

1.7.4. Многоместные арифметические операции.

Пусть А, В, D — нечеткие числа, такие, что D=A/(A+B). Обычно в литературе по нечеткой арифметике значения D вычисляют в два этапа — сначала находят сумму А+В, а потом — частное от деления А на А + В. При этом

(1.35)

Если, однако, считать, то в определение D входит одно и то же число А, то должно быть

(1.36)

Существует доказательство, что

где D' определяется функцией принадлежности (1.35), а D" — функцией (1.36).

Таким образом, если значением величины D считать нечеткое число D", то число D' будет лишь «охватывающей» оценкой, для D. Заметим, что изложенное остается справедливым и при более сложных нечетких арифметических выражениях.

Для вычисления значений типа D" сложных арифметических выражений в качестве первого приближения может быть использован следующий алгоритм.

Пусть Y, Xi (i 1,2,..,n) — нечеткие числа; Y=f(X1, ...,Xn); f — арифметическая функция переменных Х1, ..., Хп.

Шаг 1. С помощью зависимости f и носителей S1, S2,... , Sn нечетких чисел Х1, Х2,..., Хп определить носитель SY. (Поскольку вычисляется результат типа D", при нахождении SY непосредственное использование определений интервальной арифметики здесь невозможно).

Шаг. 2. Выполнить дискретизацию S1...,Sn на равное число точек.

Шаг 3. Дискретизировать SY. Выбрать очередной элемент уSY.

Шаг 4. Определить нечеткое число Y, пользуясь процедурой перебора

где хi Si.

В многоместных арифметических операциях кроме рассмотренного случая повторного вхождения переменной возможно наличие более сложного взаимодействия переменных.

Анализу процедуры сложения взаимодействующих переменных посвящен ряд работ. В некоторых из них описан алгоритм решения задачи вычисления нечеткой ожидаемой полезности U альтернативы для случая, когда альтернатива имеет п результатов, полезность j-го из которых равна иj, а вероятность есть нечеткое число Pj с носителем Sj и функцией принадлежности μj(pj):

Согласно (1.1) с учетом условия нормировки получаем

при ограничениях

Первое выражение данной системы ограничений соответствует выполняемому действию - нахождению математического ожидания полезности, а второе выражение как раз и является примером более сложной связи четких значений нечетких чисел.

1.8. Нечеткие уравнения

1.8.1. Линейные нечеткие уравнения.

В рамках аксиоматического подхода к принятию решений функция полезности измерится в шкале интервалов и строится на основе аксиомы непрерывности, которая утверждает, что для исходов х1 х2 х3 и лотереи (р, х1; (1— р), х3) существует вероятность р0, такая, что (р0, х1; (1— р0), х3) ~х2. Тогда если полезности U(х1)=u1 и U(x2)=u2, тo

u2 = р0u1+( l- р0) U(x3). (1.37)

Отсюда U(х3) - корень линейного уравнения (1.37). В задачах принятия решений в нечеткой среде числа, которые входят у уравнение (1.37), могут быть нечеткими. Поэтому при построении нечеткой функции полезности возникает необходимость решения линейного нечеткого уравнения вида

AX + B = D, (1.38)

где А, В, D — нечеткие числа, а арифметические операции выполняются на основе принципа обобщения (1.1).

Уже в первой работе по нечеткой арифметике было доказано, что пары операций «сложение - вычитание» и «умножение - деление» не позволяют отыскать соответственно противоположное и обратное нечеткие числа, так как

Кроме того,

( А-В)+В≠А, (А/В)В≠А.

На основе этот результат сделан вывод о невозможности точного решения нечетких уравнений.

1.8.2. Арифметическая операция «дополнительное

вычитание».

Рассмотрим сложение нечетких чисел. Пусть SA = (а1, а2),

SB=(b1,b2), SD=(d1,d2) — носители нечетких чисел А, B и D соответственно.

Известно, что если U = A + В, то

(d1, d2) = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

Очевидно, что в общем случае

(b1, b2)≠(d1, d2) — (a1, a2) = (d1—a2, d2—a1),

т. е. пользуясь операцией вычитания интервалов, носитель неизвестной X в нечетком уравнении A+X = D найти нельзя, а значит, исходя из принципа обобщения (1.1), нельзя найти и величину X.

Введем операцию «дополнительное вычитание» (обозначим ее

через — —) так, чтобы при выполнении равенства X=D— —A

было справедливо A + X=D. Для носителей нечетких чисел определим операцию «— —» следующим образом:

(d1, d2) — — (а1, a2) = ( d1 -а1 d2 - а2). (1.39)

Тогда

(b1, b2) = (d1, d2) — — (а1, а2)

для любых интервалов SA, SB, для которых Sd=Sa+Sb.

Степень принадлежности для любой точки b' SB при известных А и D (в равенстве D=A+B) можно определить по алгоритму, который иллюстрируется на рис. 1.9, где b'= d'-а', b"= d" - а".