Дискретно-непрерывная математика (стр. 21 )

=х4 — х3 — 7х2 + 13х — 6.

Операция умножения многочленов ассоциативна, коммутативна и дистрибутивна относительно сложения. Нейтральным элементом относительно умножения служит многочлен, у которого а0 = 1, а все другие коэффициенты равны нулю.

Таким образом, множество многочленов является коммутативным кольцом. Это кольцо также унитарное (кольцо с единицей). Можно показать, что множество многочленов не имеет делителей нуля, следовательно, она есть кольцо целостности.

Любой многочлен можно единственным образом представить в виде:

f (х) = g (x) q (х)+ r (х),

где q(x) — частное от деления f(х) на g (х) (по убывающим степеням) и r(х) — остаток. При этом deg r(x)<deg g(x), а также если

deg f(x) ≥ deg g(x), то deg q(x) = deg f (х) — deg g(x).

2. Нули многочлена. Число λ называют нулем многочлена f(x), если f(λ)=0. Говорят также, что λ есть корень уравнения f(х)=0.

Для того чтобы λ был нулем многочлена f(х), необходимо и достаточно, чтобы этот многочлен делился без остатка на х—λ. Если многочлен f(x) делится без остатка на (х — λ)s, где s — наибольшее натуральное число, для которого такое деление возможно, то λ называется нулем кратности s. Нуль кратности единица называется простым.

Основная теорема алгебры утверждает, что многочлен п-й степени с действительными или комплексными коэффициентами имеет не меньше одного и не больше п различных действительных или комплексных нулей. С учетом кратности корней их общее число всегда равно п.

Пусть λ 1; λ 2, ... , λk — нули многочлена степени п, a s1, s2, ... , sk — их кратности. Тогда многочлен можно с точностью до постоянной представить в виде:

f (х) = (х — λ1) (х — λ 2) ... (х— λ k) .

Если λі— нуль кратности sі, то дифференцируя f(x)sі раз, убеждаемся, что

f (λі) = f ' (λі) = ... = f (λі) = 0,

но

f ( λі)≠0.

Например:

f (х) = х5 + х4 — 5х3 — х2+ 8х — 4 = (х - 1)3 (х + 2)2;

f (1) = f ' (1) = f " (1) = 0,

но

f "′ (1) = 54.

Имеется большое количество методов определения нулей многочленов, а также различных теорем, определяющих их расположение в поле комплексных чисел. Основные трудности решения этой задачи связаны с тем, что алгебраические уравнения f(x)=0 неразрешимы в радикалах, если степень многочлена высший четвертой. Эти трудности преодолеваются применением приближенных методов вычисления.

3. Кольцо множеств. Непустая система множеств образует кольцо множеств, если для любых А и В этой системы А + В и А В также принадлежат к этой системе множеств. Здесь определено два внутренних закона композиции: дизъюнктивная сумма и пересечение. Нейтральным элементом относительно суммы служит пустое множество , так как А + = А. Симметричным для каждого А является само это множество, так как A + A= .

Второй закон - ассоциативный

А (В С) = (А В) С

и дистрибутивный относительно первого, т. е.

A (В + С) = (A В) + (А С).

Нейтральный элемент (единица) U относительно второго закона (пересечения) определяется соотношением A U=А, откуда следует, что U есть не что иное, как максимальное множество этой системы, которая содержит все другие входящие в систему множества (универсум U). Если такой элемент существует, то имеем кольцо с единицей (унитарное кольцо). Так, унитарное кольцо образует система всех подмножеств произвольного множества V. Примером кольца (без единицы) может служить множество всех ограниченных отрезков числовой прямой (не существует ограниченного отрезка, который служил бы единицей кольца, т. е. содержал все ограниченные отрезки прямой).

Так как для любых А и В справедливы соотношения:

A В = (А + В) + (А В)

и

А \ В = А + (A В),

это кольцо множеств содержит также A В и А\В. Говорят, что кольцо замкнуто относительно объединения и пересечение, разности и дизъюнктивной суммы.

4. Тело кватернионов. Первой системой на пути обобщения комплексных чисел появились кватернионы, т. е. выражения вида

х = а + bi+ cj + dk,

где а, b, c, d — действительные числа, а символы i, j, k также называют кватернионами (например, j — это кватернион при а=b=d = 0 и

c = 1). Число а — действительная часть, а сумма bi+cj+dk — векторная часть кватерниона.

На множестве кватернионов определяют два внутренних закона. Аддитивный закон задается подобно сложению комплексных чисел, т. е. сумма

х1 = а1 + b1i + c1j +d1k

и

х2 = а2 + b2i + c2j +d2k

есть

х1 + х1=(а1 + а2) + (b1 + b2)i + (с1 + с2)j + (d1 + d2)k.

Очевидно, этот закон ассоциативный и коммутативный. Нейтральным элементом относительно сложения служит

0 = 0 + 0i +0j +0k,

а симметричным к элементу х есть элемент

-х = -а1 —b1i — c1j — d1k = .

Чтобы множество кватернионов была телом, мультипликативный закон (умножение кватернионов) должен быть ассоциативным и дистрибутивным относительно сложения. Это достигается, с одной стороны, определением мультипликативного закона подобно умножению многочленных алгебраических выражений и, с другой стороны, заданиям правила умножения кватернионов, которое в наиболее лаконичной записи имеет вид:

i2= j2 = k2 = ijk = —1,

где порядок сомножителей в произведении ijk строго фиксирован. Отсюда также следует

ij = —ji = k; jk = —kj = i; ki= —ik = j.

Действительно, умножая справа на k обе части равенства

ijk =—1, имеем ijk2 =—k или ij= k. Умножая полученное уравнение на j справа или на i слева, получаем соответственно — i=kj или — j=ik и т. д.

Как видно, мультипликативный закон (умножение кватернионов) не коммутативный, т. е.

x1x2 = (a1 +b1i+ c1j + d1k)(a2 + b2i+ c2j + d2k) = a1a2 + a1b2i +

+ a1c2j + a1d2k +b1a2i + b1b2i2+ b1c2ij + b1d2ik + c1a2j +c1b2ji +

+ c1c2j2 + c1d2jk + d1a2k+ d1b2ki+ d1k2j+ d1d2k2 =

=(a1a2— b1b2 — c1c2 — d2d2) + (a1b2 + b1a2 + c1d2 — d1c2)i + +(a1c2 + c1a2 — b1d2 + d1b2)j+(a1d2+d1a2+b1c2 — c1b2) k≠x2x1.

Нейтральным элементом относительно умножения служит единица, рассматриваемая как кватернион, у которого а=1 и b=с=d=0. Можно также показать, что относительно умножения всякий кватернион

х = а + bi+cj + dk

имеет симметричный (обратный) ему

х-1 =(1/m2)(а — bi — cj — dk),

где число

т=

называют нормой кватерниона. Итак, множество кватернионов, наделенное описанными выше двумя внутренними законами композиции, образует тело.

Произвольный кватернион α=а+bi+cj+dk можно представить как совокупность числа а и трехмерного вектора = (b, c, d), который выходит из начала координат и который имеет числа b, с и d своими проекциями на оси координат, т. е. α=(а, ). С другой стороны, всякому вектору =(х, у, z) взаимно-однозначно соответствует векторный кватернион ξ = bi+cj+dk.

5. Вращение твердого тела. С помощью кватернионов изящно решаются задачи, которые связаны с композицией поворотов твердого тела в пространстве. Пусть, например, твердое тело поворачивается на угол φ1 вокруг некоторой оси, которая проходит через точку О, а затем поворачивается вокруг другой оси, которая проходит через ту же точку О, на угол φ2. Требуется определить, на какой угол φ и вокруг какой оси следует повернуть тело, чтобы оно из первого положения сразу перешло в третье (рис. 1.32, а).