Дискретно-непрерывная математика (стр. 76 )

что θ является взаимно однозначным ненулевым на J и θ[F (J)] = 0. Пусть a, b J и предположим, что θ(а) = θ(b). Из этого следует, что для всех . Тогда в силу равенства 1 аLb, и по регулярности класса J для а и b существует общая правая единица е J. Но в силу равенства (2) а = ае= be = b. Сле­довательно, θ взаимно однозначный на J и отображение θ ненулевое на J и нулевое на F (J).

Пусть теперь Ql и Qr будут отношениями конгруэнтности, ассоции­рованными с LMj и RMj соответственно. Тогда Ql Qr — отношение конгруэнтности, ассоциированное с θ. Пусть φ—любой гомоморфизм на S, взаимно однозначный ненулевой на J и такой, что φ [F (J)] = 0. Мыдолжны показать, что отношениевлечет

Предположим, что Тогда существует элемент

j J, такой, что

Ногде J0 есть 0-минимальный идеал полугруппы S/F(J) и φ является взаимно однозначным на J0. Следовательно, откуда следует, чтоАналогично s1 s2 (mod QR) влечет φ(s1)≠φ(s2), поэтому s1 s2(mod Ql Qr) влечет φ(s1)≠φ(s2).

б) Этот пункт следует из пункта а).

в) Заметим, что RMj (S) есть подполугруппа правых сдвигов на

Результат теперь следует из утверж­дений 5 и 6, приведенных в предыдущем модуле, и из пункта б). 2.7. Замечание. Предположим теперь, что для J задано фиксирован­ное матричное представление, т. е. имеется изоморфизм

Заметим, что два элемента эквивалентны относительно Ql Qr тогда и только тогда, когда они действуют одинаково слева и справа на J. Пользуясь обозначениями, применявшимися для описания левых и правых переносов регулярных рисовских полугрупп матрич­ного типа (см. утверждение 4 из предыдущего модуля), и рассматривая умножение на s1 и s2 как переносы, найдем, что

тогда и только тогда, когда

и

Однакосвязаны для всех элементов s S. Опи-

раясь на пункт г) утверждения 4 из предыдущего модуля, мы получим, что если ψR, ψL и δ совпадают на элементах s1 и s2, то λ совпадает на элементах s1 и s2. Это наводит на мысль, что имеется некоторое удваивание инфор­мации при описании как гомоморфизма, ассоцииро­ванного с Ql Qr. Исследуем это подробно и дадим явное определение.

2.8. Определение. Пусть S — полугруппа с регулярным F клас­сом J.

а) Определим где для всех элементов тогда и только тогда, когда s1xRs2x в S/F(J) для всех элементов х J. Следовательно, s1 ≡ ls2 тогда и только тогда, когда они действуют одинаково на левые символы, т. е. тогда и только тогда, когда Легко показать, что ≡L есть отношение конгруэнтности.

б) Аналогично определим где для всех элементов . тогда и только тогда, когда xs1Lxs2 в S/F (J) для всех х J. Следовательно, s1 ≡ Rs2 тогда и только тогда, когда ψR (s1) = ψR (s2).

2.9. Утверждение. a) (LLMj × RMj)∆. индуцирует

б) (LMj × RLMj) ∆ индуцирует

Доказательство.Очевидно, что отношение

влечет

Наоборот, предположим, что

Тогда ψL, ψR и δ согласуются на s1 и s2. Предположим, что λ(s1)(a) = 0. Из этого следует, ψL(s1)(a) = 0, последнее в свою очередь влечет ψL(s2)(a) = 0. Следовательно, λ(s2)(a) = 0. Предполо­жим, что λ(s1)(a) ≠0. Тогда ψL(s1)(a) ≠ 0 и в силу связывающего уравнения [см. пункт г) утверждения 4 из предыдущего модуля и регулярности класса J существует такой элемент b В, что

Следовательно,

б) Доказательство аналогично пункту а).

2.10. Замечание. Таким образом, мы получили на полугруппе S/F (J) отношения конгруэнтности, которые отождествляют два эле­мента, если они одинаково действуют на левые и правые символы. Соот­ветственно и отношение QL Qr содержится в обоих из них. Мы хотели бы найти третий гомоморфизм полугруппы S, такой, что его комбина­ция с LLMj и с RLMj давала бы QL Qr. Этот новый гомоморфизм обязательно говорил бы что-нибудь о том, как два элемента действуют на групповую координату.

2.11. Определение. Пусть J — регулярный F класс полугруппы S. Определим гомоморфизмполагая s1 ≡ s2 тогда и только тогда, когда для всех элементов х1, х2 J. Очевидно, ≡ есть отношение конгруэнтности.

Мы назовем F класс комбинаторным тогда и только тогда, когда он не содержит нетривиальных групп. В противном случае F класс назы­вается некомбинаторным (т. е. F класс будет некомбинаторным тогда и только тогда, когда он содержит нетривиальную группу). Следова­тельно, комбинаторные F классы являются нулевыми или регуляр­ными с одноэлементными H классами.

Эквивалентно: F класс J комбинаторный тогда и только тогда, ког­да полугруппа J0 комбинаторная, и J некомбинаторный тогда и только тогда, когда полугруппа J0 не является комбинаторной.

Определим гомоморфизм GMj полугруппы S, полагая

2.12. Предложение.

индуцирует

б) Пусть J1, ..., Jk — регулярные F классы полугруппы S и Jk +1, ..., Jn — нулевые F классы полугруппы S. Тогда

Доказательство, а) Предположим, что регулярный F класс J комбинаторный, т. е. H классы, принадлежащие J, состоят из одного элемента. Тогда по определению Поэтому равенство

влечеттолько Но этого ужедостаточно. Предположим, что Тогда